Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
(или q)9 q vTa. В выражениях, подобных-^, в качестве независимых переменных берутся /?, а не q9 как это уже было установлено для кинетической энергии.
Представим себе большое число независимых систем, тождественных по природе, но различных по фазе, т. е. по кон-
*) Заметим, что хотя мы и называем зд потенциальной энергией рассматриваемой системы, в действительности она определяется таким обра* вом, что включает также энергию, которую можно назвать взаимной энер-гией системы и внешних тел.
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА
фигурациям и скоростям. Силы предполагаются определенными для каждой системы по одному и тому же закону и являются функциями только координат системы qt9»>»9qn или, кроме того, еще координат аи а2, ... тех или иных внешних тел, причем необязательно, чтобы они могли быть выведены из силовой функции. Внешнее координаты а19 а2у ... могут изменяться со временем, однако для любого заданного момента они имеют фиксированные значения. Этим они отличаются от внутренних координат ql9 .. ., qni которые для одного и того же момента имеют различные значения в различных рассматриваемых системах.
Рассмотрим, в частности, некоторое число систем, фазы которых в какой-либо заданный момент заключаются между некоторыми пределами, а именно, для которых
Pi <Pi< Ру Qi<Qi< Яи '
Рг ^ Р% ^ Ръ> У2 ^ $2* „
Рп< Рп< Pti, Qn "“С 9/i 9л) ,
где буквами со штрихом обозначены постоянные. Допустим, что разности р[ — р[9 q\ — q[> ... бесконечно малы и что системы распределены по фазам непрерывно*), так что число систем, имеющих фазы в указанных пределах, можно представить а виде
D (р* — р[) К) (q\—q[) • ••(?«—q’n), (Ю)
ял и, короче,
D dPl ... dpn dqx ... dqn, (11)
где D— функция iof q и, вообще говоря, также t, поскольку о течением времени вместе с изменением фаз отдельных систем и распределение ансамбля по фазам вообще подвергается изменению. В специальных случаях распределение по фазам остается неизменным. Это случаи статистического равновесия.
Если мы будем рассматривать совокупность всех возможных фаз как некоторое 2>г-мерное пространство, то мы можем рассматривать произведение дифференциалов в (11) как выра-
*) Строго говоря, конечное число систем не может быть распределено непрерывно по фазам. Однако, увеличивая до бесконечности число систем, мы можем приблизиться к непрерывному закону распределения, подобному описанному здесь. Чтобы избежать утомительного многоречия, способ выражения, подобный принятому выше, хотя бы и страдающий неточностью, является дозволительным, если смысл, в котором он употребляется, достаточно ясен.
20
ГЛ. I. ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА
жение Для элемента объема этого пространства, a D — как плотность систем в этом элементе. Мы назовем произведение
dpx . .. dpndq1. .. dqn (12)
элементом фазового пространства и D — фазовой плотностью систем.
Очевидно, что изменения плотности систем, происходящие в любом заданном элементе фазового пространства, зависят от динамической природы систем и их распределения но фазам в рассматриваемое время.
Динамическая природа консервативных систем, с которыми мы будем, главным образом, иметь дело, вполне определяется функцией, выражающей энергию з через р, q и а (функция эта предполагается одинаково!! для всех систем); в более общем: случае, рассматриваемом нами, динамическая природа систем определена функциями, выражающими кинетическую энергию гр через р и q и силы через qua. Распределение по фазам1 выражается для какого-либо момента заданием D в виде
функций р и q. Чтобы найти значение ~ для заданного элемента фазового пространства, мы заметим, что число систем внутри данных границ может изменяться только в результате прохождения систем через данные границы, что может быть осуществлено 4п различными способами, а именно, пере-ходом р± какой-либо системы через границу рЛ' или границу р[, или переходом qL какой-либо системы через границу q{ или границу q[ и т. д. Рассмотрим эти случаи но отдельности.
Рассмотрим, во-первых, несколько систем, входящих за время dt в данный элемент или выходящих из него в результате прохождения рх через границу р[. Удобно и, очевидно, допустимо предположить dt столь малым, чтобы величины • •
Pi dt, qL dt и т. д., которые представляют собой приращения ри qа и т. д. за время dt, были бесконечно малы в сравнении с бесконечно малыми разностями р[— р[} q[ — q[ и т. д., определяющими размер фазового элемента. Системы, для которых рг за время dt проходит через границу р[у это те, для которых в начале этого интервала значение рх лежит между р[ и Pi ~~ Pi^t, как легко убедиться, рассматривая отдельно случаи, в которых рх положительно и отрицательно. Те системы, для которых рх лежит между этими границами, а другие р и q лежат в границах (9), будут входить или выходить из рассматриваемого элемента, смотря по тому, будет ли р положительным или отрицательным, если, конечно, они не пересекают в течение этого же промежутка времени какой-либо другой
