Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Формулировка и доказательство этих точных законов для систем с любым конечным числом степеней свободы являлись главным предметом предыдущих рассуждений. Однако, необходимоясно указать, что хотя результаты, полученные для огромного числа степеней свободы, заметно совпадают с общими законами термодинамики, все же, каким бы интересным и значительным ни было это совпадение, мы еще далеки от объяснения явлений природы по отношению к этим законам. Ибо, по сравнению с природой, рассматривавшиеся нами системы являются идеально простыми. Хотя единственное наше допущение заключается в том, что мы рассматриваем консервативные системы с конечным числом степеней свободы, уже это допущение представляется слишком далеко идущим, поскольку дело касается природных тел. Явления лучистой теплоты*
*) У Гиббса: «faculties». (Прим. пер.)
ГЛ. XIV. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ 167
которые, конечно, не должны быть опущены ни в одной законченной термодинамической системе, и электрические явления, связанные с соединением атомов, повидимому, указывают, что гипотеза систем с конечным числом степеней свободы недостаточна для объяснения свойств тел.
Результаты подобных допущений также не совпадают с опытом в каждой детали. Мы должны были бы ожидать, например, что двуатомный газ, поскольку его можно рассматривать независимо от явлений излучения или каких-либо других электрических проявлений, обладает шестью степенями свободы на каждую молекулу. Однако, поведение подобного газа указывает, повидимому, не больше чем на пять.
Однако, хотя эти давно признанные физиками*) затруднения, повидимому, при современном состоянии науки препятствуют сколько-нибудь удовлетворительному объяснению термодинамических явлений в том виде, как они представляются нам природой, все же идеальный случай систем с конечным числом степеней свободы остается предметом, отнюдь не лишенным теоретического интереса и могущим служить указателем пути к разрешению гораздо более сложных проблем, представляемых нам природой. И если изучение статистических свойств подобных систем дает нам точное выражение законов, принимающих в предельном случае вид уже установленных законов термодинамики, то интерес его от этого только увеличивается.
Выше мы определили величину, которую мы назвали модулем 0 ансамбля систем, канонически распределенных по фазам, и величину, которую мы назвали показателем вероятности т] какой-либо фазы подобного ансамбля. Мы показали, что между модулем 0, внешними координатами а19 а2, ..., средними по ансамблю значениями энергии е, показателя вероятности ?) и внешних сил Alf А2, развиваемых системами, существует следующее дифференциальное уравнение:
ds = Qdrj — Axdax — A2da2 —-... (483)
Это уравнение, если мы отвлечемся от знака усреднения, тождественно по форме с термодинамическим уравнением (482), причем модуль 0 соответствует температуре, а показатель вероятности фазы, взятый с обратным знаком, —энтропии**).
Мы показали также, что средний квадрат флюктуации е, т. е. отклонений индивидуальных значений от среднего, имеет, вообще говоря, тот же порядок величины, что и обратная величина чйсла степеней свободы, и, следовательно, когда
*) См. Boltzmann, Sitzber.d. Wien. Acad., Bd. LXIII, S.418 (1871).
**) См. главу IV, стр. 63—54.
168 ГЛ. XIV. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
число степеней свободы очень велико, индивидуальные значения не отличимы для человеческого наблюдения от средних значений *). В этом случае флюктуации т\ также практически неощутимы. То же самое справедливо относительно флюктуаций внешних сил Alt А2, . . ., поскольку эти последние являются результатом флюктуаций энергии, так что когда эти силы существенно определены энергией и внешними координатами и число степеней свободы очень велико, флюктуации их неощутимы.
Математические операции, посредством которых конечное уравнение между е, у\ и alf а2) . .. выводится из уравнения, определяющего энергию е системы через импульсы plf. . . , рп и координаты, как внутренние qlf ...,qn, так и внешние ai> а2, • • •> указываются уравнением: ф все е
е *=5 • • • \е e dqi • • • • ¦ ¦ dP‘<* (484>
фазы
где _
6 = 07] + е.
Мы показали также, что когда системы различных ансамблей приводятся в условия, аналогичные тепловому контакту, результатом в среднем является передача энергии от ансамбля с большим модулем к ансамблю с меньшим **) и что в случае равных модулей мы получаем состояние статистического равновесия в отношении распределения энергии ***).
Мы доказали также предложения, аналогичные термодинамическим теоремам о цикле Карно ****) или о тенденции энтропии к возрастанию *****)f в особенности, когда тела различной температуры приводятся в контакт******).
Таким образом, мы точно определили величины и строго доказали предложения, которые имеют силу для любого числа степеней свободы и которые при чрезвычайно большом числе п степеней свободы будут представляться человеческому восприятию одинаковыми с величинами и предложениями эмпирической термодинамики,