Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 48

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 77 >> Следующая


Теорема I. Если ансамбль систем распределен по фазам таким образом, что показатель вероятности является функцией энергии, то среднее значение показателя меньше, чем для всякого другого распределения, в котором распределение по энергии такое же.

Обозначим через у показатель, являющийся функцией энергии, и через г\ + Аг\ всякий другой, дающий то же распределение по энергии. Надо доказать, что

все все

^ ... ^ (к) + Д-»]) er>+^dPl ...dqn> ^ ... ^ т]еЧ dpx . .. dqn, (419)

фазы фазы

где т) — функция энергии и Дт) —функция фазы, подчиненные условию

все все

^ ^ ет'-' 4ч dPl ... dq„ = ^ ... ^ еч dPl .. . dqn = 1 (420)

фазы фазм

и условию

e=e'+ds/ е—e'-fde'

jj ... ^ еч+Ач dPl. .. dqn=^ ... ^ еч dPl . .. dqn, (421)

е=е' е=е'

справедливому для любого значения энергии г'. Уравнение (420)

выражает общие соотношения, которым должны удовлетворять т) и Tj-fATj, чтобы быть показателями какого-нибудь распределения, а (421) выражает условие, что они дают то же самое распределение по энергии.
ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

133

Так как тг) —функция энергии и поэтому в пределах интегрирования (421) может считаться постоянной, мы можем обе стороны умножить на под знаком интеграла, что дает

e-e'-fde' e=e'-fcfe'

^ ^ t\eM^dPl . .. dqn = ^ dp, . .. dqn.

©-3' ? — е'

1ак как выражение это справедливо всюду внутри указанных, границ и для любого значения з', то оно должно иметь место н в случае, если интегрирование распространено на все фазы. Поэтому мы можем сократить соответственные части в обеих сторонах (419), что дает

все

^ ^ dpv. .. dqn > 0. (422)

фазы

Но по (420) это равнозначно с все

^ ^ (Дт)е^ + 1 еЛт') dpt . . . dqn > 0. (423)

фазы

Далее, &у\е^1 — е1т‘ является убывающей функцией Д?) для отрицательных значений Д?) и возрастающей функцией Д?) для положительных значений Дт]. Она исчезает приДт) = 0, и наше выражение, следовательно, не принимая отрицательных значений, может принять значение 0 только для Atj^O. Неравенство (423), следовательно, справедливо для всех фаз, исключая Дт) = 0. Теорема, таким образом, доказана.

Теорема II. Если ансамбль систем канонически распределен по фазам, средний показатель вероятности меньше, чем для любого иного распределения ансамбля, обладающего той же усредненной энергией.

А — §

Пусть для канонического ансамбля показатель равен -q~ ,

а для другого ансамбля, имеющего ту же среднюю энергию,

^-+Дт], где Ду) — произвольная функция фазы, подчиненная

лишь ограничению, заключающемуся в самом нонятии показателя, именно,

все Ф'*_?'ДТ. DCC г

^ . .. ^ е 9 "'dp, . . . dqa « ^ ... у * dpL . . . dqn = 1, (424)

фазы Фазы
34 ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

I ограничению, налагаемому постоянством средней энергии, г. е.

все 4*-е, а все

r‘dp>...dqn=\ ... dPl...dqn. (425)

фазы фаэы

Необходимо доказать, что

5-“

фазы

все <Ке

> S •* ¦ 5 (4-^)е * d/?i" ¦d?n* (42

фазы

Но в силу первого условия (424) мы можем сократить постоянный член в скобках в (428), а в силу второго условия (425)

мы можем сократить член — . Доказываемое предложение сводится, таким образом, к

все ф — 6 а

^ . . . ^ Дт)е e *dpl • • • dqn > О,

фазы

что может быть написано в силу условия (424) в виде

все ф-е

^ ^ (Дт^1) +1 — ei7‘) е e dPl .. . dqn > 0. (427)

фаэы

В этой форме его справедливость очевидна по тем же соображениям, которые были применены в (423).

Теорема III. Если 0 — какая-либо положительная постоянная, среднее по ансамблю значение выражения ’q + 'g (v\ обозначает* как обычно, показатель вероятности, а з — энергию) меньше для ансамбля, распределенного с модулем 0, чем для какого бы то ни было другого распределения.

В согласии с нашими обычными обозначениями напишем

для показателя канонического распределения. Для любого

другого распределения показатель будет —— + Дт)..

0

В каноническом ансамбле 7) + -g- имеет постоянное значение,

Ф - Ф

равное -Q ; в другом ансамоле значение ее есть -—--(-Дт).
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed