Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема I. Если ансамбль систем распределен по фазам таким образом, что показатель вероятности является функцией энергии, то среднее значение показателя меньше, чем для всякого другого распределения, в котором распределение по энергии такое же.
Обозначим через у показатель, являющийся функцией энергии, и через г\ + Аг\ всякий другой, дающий то же распределение по энергии. Надо доказать, что
все все
^ ... ^ (к) + Д-»]) er>+^dPl ...dqn> ^ ... ^ т]еЧ dpx . .. dqn, (419)
фазы фазы
где т) — функция энергии и Дт) —функция фазы, подчиненные условию
все все
^ ^ ет'-' 4ч dPl ... dq„ = ^ ... ^ еч dPl .. . dqn = 1 (420)
фазы фазм
и условию
e=e'+ds/ е—e'-fde'
jj ... ^ еч+Ач dPl. .. dqn=^ ... ^ еч dPl . .. dqn, (421)
е=е' е=е'
справедливому для любого значения энергии г'. Уравнение (420)
выражает общие соотношения, которым должны удовлетворять т) и Tj-fATj, чтобы быть показателями какого-нибудь распределения, а (421) выражает условие, что они дают то же самое распределение по энергии.
ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
133
Так как тг) —функция энергии и поэтому в пределах интегрирования (421) может считаться постоянной, мы можем обе стороны умножить на под знаком интеграла, что дает
e-e'-fde' e=e'-fcfe'
^ ^ t\eM^dPl . .. dqn = ^ dp, . .. dqn.
©-3' ? — е'
1ак как выражение это справедливо всюду внутри указанных, границ и для любого значения з', то оно должно иметь место н в случае, если интегрирование распространено на все фазы. Поэтому мы можем сократить соответственные части в обеих сторонах (419), что дает
все
^ ^ dpv. .. dqn > 0. (422)
фазы
Но по (420) это равнозначно с все
^ ^ (Дт)е^ + 1 еЛт') dpt . . . dqn > 0. (423)
фазы
Далее, &у\е^1 — е1т‘ является убывающей функцией Д?) для отрицательных значений Д?) и возрастающей функцией Д?) для положительных значений Дт]. Она исчезает приДт) = 0, и наше выражение, следовательно, не принимая отрицательных значений, может принять значение 0 только для Atj^O. Неравенство (423), следовательно, справедливо для всех фаз, исключая Дт) = 0. Теорема, таким образом, доказана.
Теорема II. Если ансамбль систем канонически распределен по фазам, средний показатель вероятности меньше, чем для любого иного распределения ансамбля, обладающего той же усредненной энергией.
А — §
Пусть для канонического ансамбля показатель равен -q~ ,
а для другого ансамбля, имеющего ту же среднюю энергию,
^-+Дт], где Ду) — произвольная функция фазы, подчиненная
лишь ограничению, заключающемуся в самом нонятии показателя, именно,
все Ф'*_?'ДТ. DCC г
^ . .. ^ е 9 "'dp, . . . dqa « ^ ... у * dpL . . . dqn = 1, (424)
фазы Фазы
34 ГЛ. XI. СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
I ограничению, налагаемому постоянством средней энергии, г. е.
все 4*-е, а все
r‘dp>...dqn=\ ... dPl...dqn. (425)
фазы фаэы
Необходимо доказать, что
5-“
фазы
все <Ке
> S •* ¦ 5 (4-^)е * d/?i" ¦d?n* (42
фазы
Но в силу первого условия (424) мы можем сократить постоянный член в скобках в (428), а в силу второго условия (425)
мы можем сократить член — . Доказываемое предложение сводится, таким образом, к
все ф — 6 а
^ . . . ^ Дт)е e *dpl • • • dqn > О,
фазы
что может быть написано в силу условия (424) в виде
все ф-е
^ ^ (Дт^1) +1 — ei7‘) е e dPl .. . dqn > 0. (427)
фаэы
В этой форме его справедливость очевидна по тем же соображениям, которые были применены в (423).
Теорема III. Если 0 — какая-либо положительная постоянная, среднее по ансамблю значение выражения ’q + 'g (v\ обозначает* как обычно, показатель вероятности, а з — энергию) меньше для ансамбля, распределенного с модулем 0, чем для какого бы то ни было другого распределения.
В согласии с нашими обычными обозначениями напишем
для показателя канонического распределения. Для любого
другого распределения показатель будет —— + Дт)..
0
В каноническом ансамбле 7) + -g- имеет постоянное значение,
Ф - Ф
равное -Q ; в другом ансамоле значение ее есть -—--(-Дт).
