Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
**) В применениях уравнения (387) не все результаты получаются соответствующими тем, которые мы получили из уравнения (374), так как является известной функцией sp, тогда как ^ должна рассматриваться, как произвольная функция s, или почти таким образом.
***) См. главу VIII, уравнения (305) и(31б).
126 ГЛ. X. МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ
Следовательно, если ^>2 и п2 > 2,
(394)
1 d'f j d?i d'р2
0 di © dsx e rfs2 0*
1 _________d'f | _____________dji
(395)
Мы сравнили некоторые функции энергии всей системы со средними значениями подобных же функций кинетической энергии всей системы и со средними значениями подобных же функций полной энергии какой-либо части систсмы. Мы можем также сравнить те же функции со средними значениями кинетической энергии части системы.
Обозначим полную, кинетическую и потенциальную энергии всей системы, через г, гр и eq, а кинетические энергии частей через е1р и е2р. Эти кинетические энергии необходимым образом разделены; относительно потенциальных энергий мы можем не делать никаких предположений. Фазовый объем внутри произвольных границ, которые могут1 быть выражены через г9, г1р, е2р, может быть представлен, в обозначениях главы VIII, тройным интегралом
взятым внутри этих границ. И если ансамбль систем распределен внутри этих границ с равномерной плотностью, среднее значение какой-либо функции sq, е1р и е2р выразится частным
Чтобы получить среднее значение и для микроканонического распределения, мы должны взять в качестве пределов е и
* -}- ds,. Знаменателем в этом случае будем г9 йг, и мы получим
5SSudvlp dvn,dv,, Ш dV17)dVipdVg
или
Hi ue^PdzdV^dV, Ш e9lp Лг dV2p dV~ '
&q-—6 ©2
V q— 0 ©2
где ?ip> У2p И Vq связаны уравнением
?lp+S2p + Sg = COIlSt. =3.
ГЛ. X. МИКРОКАИОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ J-27
Соответственно,
q— © 62 р — ё~Ъд
и мы можем написать
e^V = e-bpVlp je = e-*Wjs = ~ e4p |E = {- «1р
II
e = e-'pF|e = e-?Wj« = e-^F2p|e=^slp|e = ^ $2p |«. Далее, если п1 > 2,
----, ??=© 82pB:8-eg
!> )>
15=0 eij;=0
Ej=S
(397)
(398)
(399)
„ l* <Ie*P j,7 _m(/e? dt
= e-"f \ — dVa^e 4-r- = -p.
(400)
v0=o
Следовательно, если > 2 и и2 >2,
d з <fs
ip
1 _______r/cp
в </s
У?1Р
e ds
ip
“'-g!.-(l».-0ss|e-(4“--0*s!.-
(402)
Мы не можем применить методы, использованные на предыдущих страницах, к микроканоническим средним (обобщенных) сил А1У А2, ... , с которыми система воздействует на внешние тела, так как эти величины не являются функциями ни кинетической, ни потенциальной энергии всей системы или какой-либо ее части. Мы можем, однако, вос^ пользоваться методом, описанным на стр. 120.
Представим себе ансамбль систем, распределенных по фазе, согласно показателю вероятности
О)
где е'—некоторая постоянная, представляющая собой возможное значение энергии, за исключением наименьшего значения, совместимого с значениями внешних координат, а с и со —другие постоянные. Мы имеем, следовательно,
S-S
фазы
(•-•'Г-
>: dp1...dqn = l,
(403)
128 ГЛ. X. МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ
ИЛИ
ИЛИ /КО
= S"¦ Sе шз dPi--¦ d(in, (4о4)
фазы
У = 0
Из (404) имеем
(е-е')
%=\ •• S 2*-^А*е~ dPl...dqa =
фазы
= 5 2^Ij?e^4!?d3, (406)
v=o
где Аг |s обозначает среднее значение Ах в тех системах ансамбля, которые имеют ту или иную одинаковую энергию г. (Это значение совпадает со средним значением Аг для микро-канонического ансамбля энергии г). Законность преобразования станет очевидной, если мы рассмотрим по отдельности части каждого из интегралов, лежащие между какими-либо двумя бесконечно мало отличающимися границами энергии. Интегрируя по частям, мы получим
(е -еТ
+ \ Ы +^-д> *• <407>
У=0
Дифференцируя (405), получим
(е-е')*1 , ^ (е-е'Г*
v °Л-<г — “
да
У- о
где еа обозначает наименьшее значение г, совместимое о внешними координатами. Последний член в этом уравнении де~с
представляет часть , обусловленную изменением нижнего
предела интеграла. Очевидно, что выражение в скобках исчезает для верхнего предела. На нижнем пределе, для которого г = 0 и г имеет наименьшее значение, совместимое