Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. X. МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ 12$
Эти результаты интересны благодаря связи функций e-W dv
и ф с понятием температуры в термодинамике —предмет, к которому мы вернемся позднее. Они являются специальными случаями общего соотношения, легко выводимою из уравнений (306), (374), (288) и (289). Мы имеем
"V V dhV„ , ‘ 1 . .
ЙГ= \ ~T^dV4 ПРИ A<y » + 1* v,to d*e
Уравнение это можно написать в виде
ег=е
в"'^ e-^e^dVr уДо d,p
Следовательно, мы имеем
к-? о
е dz>‘-e dV
г(4 »-*+*).
(380)
\
если /г < -- п + 1. Так, например, если п — четное, то мы
1 г-
можем положить /г = — /г, что дает с (307)
(2^e-4F^=e = r(-| пу,-*|s. (381)
Так как любой канонический ансамбль систем можно рассматривать как состоящий из микроканонических ансамблей, то если какие-либо величины и и v имеют одни и те же средние значения в каждом микроканоническом ансамбле, то они будут иметь те же значения в каждом каноническом ансамбле. Чтобы подвести формально под зто правило уравнение (380), мы можем заметить, что левая его сторона, являющаяся функцией г, имеет постоянное значение в микроканоническом ансамбле и, следовательно, тождественна со своим средним значением. Мы получим таким образом общее уравнение
Г(4")
dhV dhVr>
e-Vr =е-*Р—ь2
d* |e del
sl~h |в = 01_Л (382)
г(4»-*+*)
при h<Y и + 1 *). Уравнения
*) См. уравнение (292).
124 гл. X. МИКРОКАИОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ
(383)
(384)
могут рассматриваться как частные случаи общего уравнения. Последнее уравнение подчинено условию п >2.
Последние два уравнения дают для канонического ансамбля при п > 2
Соответствующие уравнения для микроканонического ансамбля дают при п > 2
когда п очень велико.
Если система состоит из двух частей, имеющих отдельные энергии, мы можем получить уравнения, аналогичные по форме предыдущему, но относящиеся к подразделенной таким образом системе*). Мы будем обозначать величины, относящиеся к частям, буквами с индексами; те же буквы без индексов относятся ко всей системе. Фазовый объем всей системы внутри каких-либо заданных границ энергий может быть представлен двойным интегралом
взятым между этими границами, как это непосредственно явствует из определений главы VIII. В ансамбле, распределенном с равномерной плотностью внутри этих границ и нулевой плотностью вне их, среднее значение какой-либо функции энергий sA и г2 выражается частным
*) Если это условие строго выполнено, обе части не будут влиять друг на друга, и ансамбль, образованный микроканоническим распределением целого, является слишком произвольным понятием для того, чтобы представлять действительный интерес. Основной интерес уравнений, которые мы должны получить, относится к случаям, в которых условие выполнено приближенно. Однако, для целей теоретического исследования удобнее, разумеется, считать эти условия абсолютными. Ср. главу IV, стр. 44 и дальше, где сходное условие рассматривается в связи с каноническими ансамблями.
(385)
(386)
что показывает, что значение ^"\ог*~у стРемится к единице,
J I udV^dVz
11 WidV* ’
гл. X. МИКРОКАИОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ 125
которое можно г1акже написать в виде*)
? ? ue^ldzl dV2 l\e^dzxd\\~a
Если мы возьмем в качестве пределов интегрирования г и s + ds, мы получим среднее значение и по ансамблю, в котором вся система микроканоиически распределена по фазам, а именно,
_ ©2 = S
и |е = е-* иеп dV2l (387)
vv=o
где <рг и V2 связаны уравнением
si + ?2 — const. = г, (388)
ж а, если она задана в виде функции или и sif ока-яыгается в силу тех же уравнений функцией только г2**). Таким образом
_________ е2=е
e-*vX = e-* \ V, dV2, (389)
У2"о __________
в-?7 = е-« F1!s = e-^F1,e. (390)
Это требует подобного же соотношения для канонических средних
0 = е-1 V 1в = e-« Vr le = С-** V, L (391)
Далее,
РОД
v2-o
Но если /гх > 2, е*1 исчезает для 7Х = 0***) и
Е 2=г Е 2” 3
= ^ ^ (393)
У2=0 va=s 1
*) Там, где аналитические преобразования тождественны по форме с рассмотренными на предыдущих страницах, приводить все ступени вычислений столь же подробным образом не представляется необходимым.
