Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
С некоторой точки зрения микроканоническое распределение проще канонического и, вероятно, больше изучалось и рассматривалось, как более тесно связанное с основными понятиями термодинамики. К этому последнему пункту мы еще вернемся в одной из последующих глав. Здесь достаточно заметить, что каноническое распределение представляет гораздо меньше аналитических затруднений, чем микроканоническое.
Мы можем иногда избежать затруднений, представляемых микроканоническим распределением, рассматривая его как результат следующего процесса, требующего привлечения понятий менее простых, но более поддающихся аналитической трактовке. Представим себе ансамбль, распределенный с плотностью, пропорциональной
JmDL
е ,
где о) и г'— постоянные, и будем неограниченно уменьшать значение константы со. При этом плотность нигде не равна нулю, кроме самой границы, но на границе она равна нулю для всех значений энергии, кроме е'. Таким образом мы избегаем аналитических усложнений, связанных с наличием разрывности в значении плотности, благодаря которой приходится рассматривать интеграл с неудобными пределами.
В микроканоническом ансамбле систем энергия г постоянна, тогда как потенциальная энергия и кинетическая энергия гр варьируют для различных систем, будучи, конечно, подчинены условию
sp + sq = s t= const. (373)
Предметом нашего первого исследования является разделение энергии на эти две части и средние значения функций sp и eq.
Мы будем пользоваться обозначением ме для среднего значения по микроканоническому ансамблю с энергией е. Сред-
ГЛ. X. МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ 121.
нее значение по каноническому ансамблю с модулем ©, обозначавшееся до сих пор через гг, в этой главе мы будем
обозначать через и |«, чтобы отчетливо различить оба вида средних величин.
Фазовый объем внутри каких-либо границ, которые могут быть выражены через г и з^, можно, пользуясь обозначениями предыдущих глав, выразить двойным интегралом
5 5dVi' dv«’
взятым внутри этих границ. Если ансамбль систем распределен внутри этих границ с равномерной плотностью, то среднее по ансамблю значение какой-либо функции и кинетической и потенциальной энергий выразится частным интегралов
lludVpdVq ПdVTAVg '
Поскольку dVl> = efildsl> и dsp — dt при постоянном s(J, то это выражение можно написать в виде
П ue^dz dVq И fdtdV, '
Чтобы получить среднее значение и для микроканонически распределенного ансамбля с энергией з, мы должны распространить интегрирование по фазовому объему между энергиями з и з + е?з. Это дает
etf~s dz ^ ue‘pdVg ! v„=n
dz [ e*pdVq
V q — 0
Но, согласно (299), значение интеграла, стоящего в знаменателе, есть е9. Следовательно,
__ eJ~ts
и]6=е-<р ^ ue*pdVq. (374)
о
где е*р и Vq связаны уравнением (373), и п, если она задана как функция зр или гр и eq, в силу этого же уравнения, оказывается функцией только з Мы предположим, что з9 имеет конечное значение. Если и>1, то, как следует из уравнения (305), е? является возрастакодей функцией з, и поэтому,
122 ГД. X. МИКРОКЛНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ФАЗАМ
ссли она обращается в бесконечность для какого-либо определенного значения в, то —ф оказывается бесконечной для всех больших значений г*). Отсюда, если гг > 1, мы, допуская, что е* конечно, исключаем только такие случаи, какие мы нашли необходимым исключить уже при изучении канонического распределения. Однако, если п > 1, то могут встретиться случаи, в которых каноническое распределение вполне применимо, но формулы для микроканонического распределения становятся иллюзорными для определенных значений в вследствие бесконечного значения еТакие несостоятельные случаи микроканонического распределения для частных значений энергии не должны препятствовать нам рассматривать каноник веский ансамбль как составленный из бесконечно большого числа микроканонических ансамблей**).
Из последнего уравнения и из (298) мы получим
___ __ s д=е
e-’frVp |, = е-* J VpdV^e-tV. (375)
Однако, по уравнениям (288) и (289) Следовательно,
2
e-*F = e-*Fp!. = ^«p . (377)
Далее, с помощью уравнения (301) мы получим
Жрр
dzp
(378)
V,,= 0
при n> 2. Следовательно, по (289)
S^L-G-Ov1!.при п>2' <379>
*) См. уравнение (322).
**) Пример несостоятельности микроканонического распределения дается материальной точкой, подверженной действию тяжести и вынужденной оставаться на вертикальном круге. Случай нарушения получается, когда энергия как раз достаточна для того, чтобы материальная точка достигла наивысшей точки круга. Заметим, что трудность обусловлена самой природой случая и совершенно не зависима от математических формул. Природа рассматриваемой трудности станет сразу ясной, если мы попы -таемся распределить конечное число материальных точек с этим частным значением энергии сколь возможно близко к статистическому равновесию или если мы зададимся вопросом, какова вероятность того, что выбранная наудачу из ансамбля точка с таким значением энергии найдется в какой-либо заданной части круга?
