Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
(342)
: = го> (г =-и)г = — ' (343)
откуда
¦Ц^ + <Р„ = -2 log —|log (2* («-«)•). (344)
Далее, в главе VII было доказано, что
_\2 _ 2 ds 2
а~р
Следовательно, приближенно
i + f.- ^+т.-—|los(2"(— ¦">•>--т'0*(?у5) •
’’ <345>
Порядок величины ?) + 9и, следовательно, равен порядку величины log/г. Эта величина существенно постоянна. Величина
7]-}-<po — у log и порядка единицы. Порядок величины <р0 и,
следовательно, — Y) равен порядку величины п *). Уравнение (338) дает для первого приближения
tr „ _ (d2'?\ (s Sp)2__________________________1 /одрч
* — VdsVo 2 - 2* ' )
получающийся из
/<*>\ (е-е0)з ,
(Л'И /о 3! **’
по обыкновенной формуле разложения показательной функции в ряд. Особых аналитических затруднений при рассмотрении небольшого числа членов подобного ряда, начало которого имеет вид
, /dh\ (S_S„)* (*-*«)«
' V«i«Vo 3! *ГЧ<**\Л 4! T • • •»
i;(¦ может представиться.
*) Ср. (289), (314).
112
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(?-?o)(3-30) = (-^i = ii3/„ (347)
= = (348)
Обе стороны последнего уравнения имеют порядок величины п. Уравнение (338) дает также для первого приближения
ch 0 ~~ \ds2 Jo^
откуда
g-J)<— •.)=(S).F^F--1, (349)
(S):^=i=F-(3).- <**»
Это выражение порядка величины п *).
Необходимо заметить, что приближенное распределение ансамбля по энергии, согласно «закону ошибок», не зависит от специальной формы функции энергии, принятой для показателя вероятности yj. Во всяком случае, мы должны иметь
е = оо
^ eTrrf йг = 1, (351)
vV о
где ег'^? необходимо положительно. Это требует, чтобы оно исчезало для г = оо, а также для г = — со, если это значение возможно. В последней главе было показано, что если s имеет конечную минимальную вэллчину (что обычно имеет место) и п > 2, то еч будет исчезать и для этого наименьшего значения s. Следовательно, вообще говоря, v] + 9 имеет максимум, определяющий наиболее вероятное значение энергии. Обозначая это значение через г0 и отмечая соответствующие значения функции энергии тем же индексом, получим
_______ _ (&)„+(if
*) Мы найдем позднее, что уравнение
точно для любого значения п, большего 2, и что уравнение
IV _ d3.
0) ““ с?з2
точно для любого значения /г, большего 4.
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 113
Вероятность того, что произвольная система ансамбдя лежит между любыми данными пределами энергии s'и е", представляется интегралом
Если мы разложим т] и <р по возрастающим степеням г — ограничиваясь квадратичными членами, то вероятность того, что энергия лежит между данными границами, приобретает вид, соответствующий «закону ошибок»:
Мы получим, вообще говоря, весьма точное приближение, если величины, прирарниваемые друг Другу в (355), очень малы, т. е. если
очень велико. Но когда п очень велико, — того же порядка величины, и условие, что (356) должно быть очень велико, не очень сильно ограничивает природу функции yj.
Дальнейшие свойства средних значений канонического ансамбля мы можем получить методом, использованным уже
для среднего Пусть и — некоторая функция только
энергии или энергии, 0 и внешних координат. Среднее значение и для ансамбля определяется уравнением
Это дает
(356)
е-оо
L м 1 *
(357)
d,
У=0
Д алее, тождественно
ф-е
114 ГД- IX. ФУНКЦИЯ <Р И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Следовательно, по предыдущему уравнению
Ф-.
du и , df Г “1Г1 е~°°*ч /опп\
dl~ в +“ ? = [ ие J v'=o )¦ (359>
Если мы положим и=1 (значение, которое не должно быть
исключено), то, если п > 2, правая сторона этого уравнения
исчезает, как показано на стр. 107, и мы получим
(360)
как и ранее (321). По тем же соображениям очевидно, что правая сторона (359) всегда исчезает, если п > 2, если только и не обращается в бесконечность для одного из пределов —случай, требующий более тщательного исследования значения этого выражения. Для того чтобы облегчить исследование подобных случаев, целесообразно наложить некоторые ограничения на природу рассматриваемых систем. При рассмотрении канонически распределенных систем мы всюду необходимо допускали, что рассматриваемая система по своей природе сцособна быть канонически распределенной при заданном значении модуля. Мы предположим теперь, что система допускает каноническое распределение с любым (конечным)**) модулем. Рассмотрим, какие случаи исключаются этим последним ограничением.
