Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 40

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 77 >> Следующая


{327)

(328)

что не следует смешивать с уравнением

(Ж). (Z-Ху ,329>

которое выводится непосредственно из тождества

Ш.--- СО. (?.),,• (330)

Далее, если мы исключим db из (323) при помощи уравнения

dty = вс?*/] -f- yde + ds, ‘ (331)

полученного дифференцированием (325), мы получим

dz = - 0dr)- е dax - 0 jg- da2- ... <(332)

или, по (321), _

— rfiQ = || -j- 4-rfa2 + - - • <(333)

*) См. уравнения (321) и (104). Индексы приписываются здесь к троиз-водным для того, чтобы смысл был совершенно ясным, хотя те же велиачины могут быть написаны в других случаях и без индекса, если опасность недоразумения кажется исключенной. Индексы указывают величины, оостаю-щиеся постоянными при дифференцировании, причем буква а стоит ввместо всех букв alta2 ,...или всех, за исключением одной, которая явно :изменяется.
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ <Р И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

109

Если не считать знаков усреднения, правая сторона этого уравнения совпадает с тождеством

<*9-gd« + ?.da1 + gfA«1+... (334)

Для более точного сравнения этих уравнений мы можем положить, что энергия в последнем уравнении есть некоторая определенная и, так сказать, характеристическая энергия ансамбля. Для этой цели мы могли бы выбрать среднюю энергию. Однако, более удобно воспользоваться наиболее часто встречающейся энергией, которую мы обозначим через ?0. Тем же индексом будем отмечать функции энергии, определенные для этого значения. Наше тождество принимает тогда вид

^ = (Юо *• + (Юо daI + (Юо d°2+ • • • (335)

Выше было показано, что

при п > 2. Более того, поскольку внешние координаты имеют

постоянные значения по всему ансамблю, значения

изменяются в ансамбле только за счет изменения энергии г, которая, как мы видели, может считаться существенно постоянной для всего ансамбля, если п очень велико. В этом случае, следовательно, мы можем считать средние величины

дах 9 да2 9 * * * практически эквивалентными величинам

относящимся к наиболее вероятной энергии.

В этом случае ds также практически эквивалентно ds0. Следовательно, мы имеем приближенно для очень больших значений п

— di] = dyQ, (337)

т. е. —т] можно с точностью до произвольной постоянной считать практически эквивалентной ф0, если число степеней свободы системы очень велико. Это не значит, что порядок численной величины переменной части + меньше единицы, ибо когда п очень велико, — tq и <р0 также очень велики, и мы
110 ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

можем только заключить, что переменная часть rj + ?о незначительна в сравнении с переменной частью ^ или <р0, взятых по отдельности.

Мы уже отмечали некоторое соответствие между величинами 9 и к] и величинами, которые называются в термодинамике температурой и энтропией. Только что доказанное свойство, вместе со свойством, выражаемым уравнением (335),

дэ

позволяет предположить, что величины ср и также Могут

соответствовать термодинамическим понятиям энтропии и температуры. Мы отложим обсуждение этого пункта до следующей главы и отметим его здесь только, чтобы оправдать несколько более подробное исследование соотношений между этими величинами.

Мы можем получить ясное представление о соотношении для предельного случая, когда число степеней свободы неограниченно возрастает, разлагая функцию <р в ряд по возрастающим степеням г — г0. Это разложение может быть написано в виде

»-*+(?).(—J+(3).^-+ (ё).(-^+-<3»>

Прибавляя тождественное уравнение

Ф ® е — го

0 0 0 ’

мы получим по (336)

4^+, + (3)tfc^? +.. .(339)

Подставляя это значение в интеграл

е и da,

выражающий вероятность того, что энергия произвольной системы ансамбля лежит между пределами s' и в", мы получим

ф- е«>е* (d'V\ (S-S))2 , (d*<?\ (s-eQ)3 ,

е в ° ” 31 ds. (340)

е'

Если число степеней свободы очень велико и, следовательно, е — е0 очень мало, мы можем пренебречь более высокими степенями и написать *)

*) Если желательна более высокая степень точности, чем та, которая дается этой формулой, то эту последнюю можно умножить на ряд,
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ <р И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Ц1

в -ГТЭ с 1^3

е

-Л»/,- 2 (341^

б'

Это выражение показывает, что для очень большого числа тепеней свободы вероятность отклонений энергии от наиболее вероятного значения е0 приближается к той, которая дается «законом ошибок». При помощи этого приближенного закона мы получим
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 77 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed