Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем принять горизонтальную линию за ось абсцисс, нанести справа от произвольной начальной точки в качестве абсциссы и восставить по перпендикуляру гп9 как соответственную ординату, определяя таким образом некоторую кривую. Далее, взяв другое начало, мы можем отложить г2
1 Л. VIII* О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ Ю5
в качестве абсцисс влево и определить вторую кривую, отложив по перпендикуляру ордииаты в92. Мы можем положить расстояние между началами равным г12, так чтобы второе начало находилось справа, если г12 положительно. Мы можем определить третью кривую, восставив в каждой точке линии (между наименьшими значениями и s2) ординату, представляющую произведение двух ординат, ^принадлежащих описанным кривым. Площадь между этой третьей кривой и осью абсцисс представляет величину е?12. Чтобы получить значение этой величины для изменяющихся значений е12, мы можем предположить первые две кривые жесткими и способными передвигаться независимо друг от друга. Мы можем увеличивать или уменьшать е12, передвигая одну из этих кривых вправо или влево. Третья кривая должна быть построена заново для каждого измененного таким образом значения г12.
ГЛАВА IX
ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
В этой главе мы вернемся к исследованию канонического распределения, чтобы установить те его свойства, которые имеют отношение к функции энергии, обозначенной нами через <р.
Если мы обозначим через N, как обычно, полное число систем в ансамбле, то
представит число систем, энергия которых заключена между границами е и г -J-ds. Выражение
представляет величину, которую можно назвать плотностью по энергии. Она исчезает для г = оо, так как в противном случае необходимое уравнение
не могло бы выполняться. На том же основании плотность по энергии должна исчезать и для е = — оо, если это —возможное значение энергии. Однако, вообще говоря, наименьшая возможная величина энергии должна иметь конечное значение, для которого, если п > 2, ё* исчезает и, следовательно, исчезает плотность по энергии*). Но плотность по энергии необходимо положительна, и поскольку она исчезает для крайних значений энергии при п > 2, она должна в этих случаях иметь максимум, в котором энергия имеет, так сказать, наиболее часто встречающееся или наиболее вероятное значение
*) См. стр. 102.
ф-е
(317)
(318)
v=o
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
107
п который определяется уравнением
й-4- I319»
Это значение при п > 2 является также средним значением по ансамблю. Ибо, интегрируя по частям, мы получим, тождественно
е=оо 6-е ф-е е = оо е—'оо ф-е
^ *Le-” *«= [.Т« ] + ‘ ] ^+' *. (320)
V = 0 У-О У=0
При п > 2 выражение в скобках, которое по умножении на N представляет плотность по энергии, исчезает на границах, и мы получаем по (269) и (318) ~
1=4- <321>
Отсюда следует, что для систем более чем с двумя степенями
свободы среднее значение ~ по канонически распределенному
ансамблю тождественно со значением той же производной, вычисленной для наиболее часто встречающейся в ансамбле энергии, причем оба значения равны обратной величине модуля.
До сих пор при исследовании величин V, Vq, Vp9 <р, <pq, <рр мы считали внешние координаты постоянными. Из определения V и 9 очевидно, однако, что они являются, вообще говоря, функциями внешних координат и энергии г и что Vq и <рд являются, вообще говоря, функциями внешних координат и потенциальной *энергии eg. Vр и <рр являются, как мы видели, функциями только кинетической эйергци вр. В уравнении
ф е = оо е
е~*' = ^ e“»+9ds, (322)
У = 0
которое может служить для определения ^ 0 и внешние координаты (содержащиеся неявно в 9) являются постоянными при интегрировании. Уравнение показывает, что <]> является функцией этих постоянных. Если их значения будут изменяться, мы получим дифференцированием, яри п^> 2,
ф е=оо е
V-0
е=оо е^_, е=оо —4-а
*ia>Sd?r° *+*.$*/¦* (323)
V=0 У-О
108 ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ 9 II КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(так как е* исчезает вместе с V, когда п > 2, то члены, обусловленные изменением границ, отсутствуют). Следовательно, из (269)
-i + i <ю=I <ю+% «to,++ ... (324)
или, так как
^ = ^ (325)
то
Сопоставляя с (112), мы получим
cty Ах д? А2
daL в 9 да2 в
Первое из этих уравнений можно написать в виде *)
