Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из этих уравнений явствует, что V всегда является непрерывно возрастающей функцией г, начиная от значения V = 0, даже если то же самое не имеет места для Vq и eq. То же самое справедливо и для ер при п > 2 или при п = 2, если Vq непрерывно возрастает вместе с eq, начиная от значения Vq = 0, Последнее уравнение может быт^> выведено из предыдущего дифференцированием по е. Последовательные Дифференциро-
jl
вания дают, если А < уД + 1,
dnv _Ч=е а»Гр __ р.)? У. _ . ? - *
** “ j "dT*- - /1 л J (30°)
Vq= 0 "Р Г П+ 1 — Л Jvff=0
Следовательно, —~ положительно, если h < и + 1. i Она яв-
ds" 2
I
ляется возрастающей функцией е, если h<2~n. Если г не
dhV
может безгранично уоывать, —- исчезает для наименьшего
возможного значения е, если h <
Если п четно, то
п
d?V п
-^==(2т:)2 (F,)?^s, (307)
dz2
n
тг 1 F
т. e. так же зависит от sg, как —- —~ от г.
(2те)2‘ ds2
ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ системы юз
Когда п велико, более удобны приближенные формулы.
Здесь достаточно будет указать предлагаемый метод, отвлекаясь от точного исследования пределов его применимости или, степени его приближенности. Для значения ер, соответствующего какому-либо заданному е, имеем
= 6 е
в* — J e9*+v* deq = J е*'** dsp, (308)
Vq=0 О
где переменные связаны уравнением (300). Максимальное знаг чение + следовательно, характеризуется уравнением
= (309)
Значения ер и eq, определенные этим максимумом, мы отметим штрихами, и отметим тем же способом соответствующие значения функций гр и eq. Далее, по теореме Тэйлора
(®р-гр) + (_7е2 ) 2 !*•••» (31°)
V. У
cP« = (P«+(jr^) (2a-ea)+^-5irJ ------2----!"••• (311)
Если для достаточного приближения мы можем ограничиться квадратичными членами, то, поскольку, по (300),
р
мы можем написать
4-00
ер— (гя ?q)y rfd*9p\’ (в«-в*')*
d4 j Л аг\ J J * ds
&? = e*'p*9q ^ e ^deP^ weJ^J * (312)
-оо
где пределы положены равными ± оо для аналитической простоты. Это допустимо, когда величина в квадратных скобках имеет очень большое отрицательное значение, так как тогда часть интеграла, соответствующая всем иным значениям eq — е^, кроме очень малых,, может рассматриваться как исчезающее количество.
Это дает
'"""(с-
или
»-*;+»;+4iog<2.)- iiog L-Csr)'-^)'] - <314>
104 ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
Из этого уравнения, вместе с (289), (300) и (309), мы можем определить значения ср, соответствующие какому-либо заданному значению s? если <pq известно в виде функции sq.
Любые две системы можно рассматривать, как образующие третью систему. Если V или <р заданы в виде функций г для каких-либо двух систем, мы можем выразить в квадратурах V и ср для системы, образованной комбинацией первых двух. Если мы отметим индексами ( )19 ( )2, ( )12 величины, отно-
сящиеся к нашим трем системам, мы легко получим, согласно определению этих величин,
F12= ^ dVtdV2= ^ V,dV^ ^ dv*= ^ (315>
e?i2 = ^ e<p2 dVi = ^ e?i dVi = ^ en+9t d4t (31 )
где двойной интеграл должен быть взят между пределами
Fi = 0, V2 = 0 и гг-\-г2^= 3i2>
а переменные в простых интегралах связаны последним из этих уравнений, тогда как пределы даются первыми двумя, характеризующими соответственно наименьшие возможные значения еА и е2.
Необходимо отметить, что эти уравнения тождественны по форме с уравнениями, при помощи которых V и ср выводятся из Vp или <рр и Vq или <рд, если не считать того, что они не допускают в общем случае тех преобразований, которые получаются в результате подстановки вместо Vq и срд частных функций, представляемых этими символами.
Подобные же формулы могут быть использованы для вывода Vq или <oq комбинированной системы, если одна из этих величин известна в виде функции потенциальной энергии для каждой из комбинируемых систем.
Операция, представляемая уравнением вида
еП2 = ^ e^e^de^
тождественна с одной из основных операций теории ошибок, именно, с операцией нахождения вероятности ошибки по вероятностям парциальных ошибок, из которых она составляется. Это обстоятельство допускает простую геометрическую иллюстрацию.