Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
Zp-r'rp
г (2 »)
<290>
Поскольку это выражение не зависит от координат, оно представляет также вероятность того, что кинетическая энергия какой-либо произвольной системы канонического ансамбля лежит в тех же границах. Форма последнего интеграла показывает также, что вероятность того, что отношение кинетической энергии к модулю находится в данных границах, не зависит и от значения модуля, определяясь целиком числом степеней свободы системы и граничными значениями отношения.
Среднее значение любой функции кинетической энергии,, взятое по всему ансамблю или по какой-либо частной конфи-
функцией q, а Д- не зависит от q. В этом случае
У (
\ п п
и'М4"+0'
1 -п , ”_1 <?„_ (2те)~ (sq~sa)~
1
г_^дду(2«)" («-««)"
Г(» + 1) ’
1
\*q ) г (П)
too ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
гурадии, дается выражением
1 Г --*--1 и = (291)
г (4 О °
Таким образом,
— Г (т+ 9 ") . 1
?” = /• г\ вт> если т + 9 »>0**); (292>
гСт")
V„ = ----Ll^> (2*0)"; (293)
г(тл + 1)г(-2 \
*) Соответствующее уравнение для среднего значения любой функции потенциальной энергии, если последняя является квадратичной функцией qf а Дг- от q не зависит, имеет вид
“ Sg - eg _
* е ** (»,-•.)* dW
II
40
Среднее значение любой функции (полной) энергии дается в этом же случае уравнением
оо е_е„ О
Отсюда для этого случая
Г f м -h у п ^
1
(5.j - %)'“ = —% . ~ . О’", если т + п > 0.
rG")
Г (т + п)
(s - га)'п = —f(n) G)m’ если т + п> 0.
s -fyVfJ = e-*V = e,
- ^ pr* "in л 9
</3,, о ’ е 1 > ''
d i 1
, ег ли > 1.
({г И '
do
Коли п= 1, е9 и —‘ -0 для всех значений s. Если п = 2, то и;е а г
самое имеет место для о..
**) Это уравнение уже было доказано для положительных целых степеней кинетической энергии. См. стр. 83.
ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
9р= г *’ если п>1> (294>
KtvJ
, если п >2; (295)
е-<рг,ур = 0. (296)
Если ?г —2, е*р = 2- и ^? = 0 для любых значений г
as0
Определения F, Vq и Vp дают
V=\---\dV„dVq, (297)
где интегрирование распространяется на все фазы, для которых энергия меньше предельного значения з, для которого ищется значение F. Это дает
е9-е
V= \ vPdvv (298)
Yq-0
II
с* = ~ ^ eWF,, (299)
vfl = 0
где F;> и связаны с FQ уравнением
зр -f = const. = г. (300)
Если /г > 2, исчезает на верхней границе, т. е. для г(> = 0, и мы получаем дальнейшим дифференцированием
ед = г
е? { e^^S-dVg. (301)
v‘=o 'p
(l
Мы можем также написать
j
v= 5J vpe^dsq, (302)
Vg-0
е0 — s
е? = ^ е*'+,«сЦ (303)
Vo-о
и т. д., если Fg —непрерывная функция га, начинающаяся со значения Vq = 0, или если мы пожелаем приписать Vq фик
102 ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
тивную непрерывность, начинающуюся от нулевого значения, как это описано на стр. 98.
Если мы подставим в эти уравнения полученные нами значения Vp и е9р, то мы найдем
2~ е*=е
v= (2^—v \ (z-zq)*dvq, (304).
r(Y» + i) -J-
v0=o
n
•о e?=e e<p ^ (2*)2
Cl)
\j (.-.,)* iV„ (305)
У a= 0
где для описанных выше случаев можно подставить вместо dVq. Если, следовательно, л известно и Vq является функцией е9, V и е* можно получить в квадратурах.
