Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
к выражению а —а любой из операторов
s+e*J§’ • •• (2':>4^
или все эти операторы произвольное число раз и в каком угодно порядке, и в результате получим в качестве среднего значения нуль. Или, если мы применим те же операторы к и и эатем возьмем среднее, то результат будет тот же, что и в случае, если бы мы поставили знак среднего отдельно над и и над s, Av А2, .. . б о всех операторах.
Если и не зависит от импульсов, формулы, подобные предыдущим, но содержащие гд вместо г, могут быть выведены .из уравнения (179).
ГЛАВА VIII
О НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
Для более подробного рассмотрения распределения канонического ансамбля по энергии, а также для других целей, целесообразно воспользоваться следующими определениями II понятиями.
Обозначим через V фазовый объем ниже некоторого предела энергии, который мы обозначим через г; иными словами,
пусть
причем интегрирование распространено (при постоянных значениях внешних координат) на все фазы, для которых энергия меньше предела е. Мы допустим, что значение этого интеграла не бесконечно, если только предельная энергия не является бесконечной. Таким образом ни один вид систем, к которым применимо каноническое распределение, не окажется исключенным. Ибо если интеграл
взятый без пределов*), имеет конечное значение, то меньшая величина
взятая ниже предельного значения з, причем s перед знаком интеграла представляет это предельное значение, также будет конечной.
Поэтому значение V, отличающееся только постоянным множителем, также будет конечным при конечном г. Оно яв-
(265)
е
в
*) Это—необходимое условие канонического распределения. См. гла-Yiy IV, СТр. Vi.
94 ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕР I ИИ СИСТЕМЫ
ляется функцией е и внешних координат, именно, непрерывно возрастающей функцией е, обращающейся в бесконечность вместе с е и исчезающей для наименьшего возможного значения е или для в= —оо, если энергия может убывать безгранично.
Положим, далее,
Фазовый объем между любыми двумя пределами энергии в' и г" представится интегралом
И вообще мы можем подставить е9с?з вместо dpx ... dqn в 2п-кратном интеграле, сводя его к простому, поскольку пределы могут быть выражены через одну только энергию, а другой множитель под знаком интеграла является функцией только энергии или энергии и величин, остающихся постоянными при интегрировании.
В частности, мы заметЕМ, что вероятность того, что энергия какой-либо системы канонического ансамбля лежит между пределами е' и е", представляется интегралом *)
а, среднее по ансамблю значение (какой-либо величины, которая меняется только с энергией) дается уравнением **)
постоянную ф в котором мы можем считать определенной уравнением ***)
Что касается нижнего предела в этих интегралах, то очевидно, что F = 0 эквивалентно условию, что значение е является наименьшим из всех возможных.
1 UV
?=log5r.
(260).
(267)
(268)
(269)
v=o
(270)
*) Ср. уравнение (93).
**) Ср. уравнение (108).
***) Ср. уравнение (92).
ГЛ. VIII. о НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ 95
Обозначим аналогично через Vq конфигурационный объем *иже некоторого предела потенциальной энергии, который мы ^ожем назвать aq. Иными словами, пусть
Vq = ^...^A\dqi...dqn, (271)
где интегрирование (при постоянных значениях внешних координат) распространено по всем конфигурациям, для которых потенциальная энергия меньше eq. Vq является функцией eq и внешних координат, именно, возрастающей функцией eqt которая [в случаях, которые мы будем рассматривать *)] не обращается в бесконечность ни для каких конечных значений ед. Она исчезает для наименьшего возможного значения еа или для eq~—cot если sq может беспредельно убывать. Она не всегда является непрерывной функцией eq. В самом деле, если имеется конечный конфигурационный объем постоянной потенциальной энергии, соответствующее значение Vq не будет включать этот конфигурационный объем, но, если eq возрастает бесконечно мало, соответствующее значение Vq должно возрасти на этот конечный конфигурационный объем.
Положим, далее,
*-log|J?. (272)
Фазовый объем между любыми двумя пределами потенциальной энергии e'q и можно представить интегралом
//
с*
\e*dsv (273)
/
коль скоро Vq как функция eq не терпит разрыва между
этими границами или на этих границах, т. е. коль скоро не
