Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гиббс Дж.В. -> "Основные принципы статистической механики" -> 34

Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.

Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики — ОГИЗ, 1946. — 204 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovnieprincipistaticheskoymehaniki1946.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 77 >> Следующая


Отклонения силы Аг от ее среднего значения обусловлены частично различием энергии в системах ансамбля, а частично различиями в значениях сил, существующих в системах с одинаковой энергией. Обозначим чер з Аг |е среднее значение Аг для ^систем ансамбля, имеющих одинаковую энергию. Оно определится уравнением

(244)

Последние два уравнения дают

(^-ЛНз-е) — ^i(« —*)« .

OS

(245)
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ 89*

причем пределы интегрирования в обоих кратных интегралах равны двум значениям энергии, бесконечно мало отличающимся друг от друга,— скажем, е и e-f ds. В результате множитель, ф-*

е 0 оказывается постоянным в пределах интегрирования, так что его можно сократить в числителе и знаменателе:

е } ---------, (247)

\ \ dp,.. .dqn

где интегралы, как и ранее, берутся между е и e-fde. Следовательно, А, |в не зависит от в, будучи функцией энергии и внешних координат.

Далее, мы имеем тождественно

_ а - а=(а - аЬ+(а!«~ А),

где А1 — А1\л обозначает избыток (стремящейся увеличить aJ силы, развиваемой какой-либо системой, над средней величиной этих сил, взятой для системы с одинаковой энергией. Соответственно

(А - А)2=(А - А '.)•+2 (А - А |е) (А I. - АЖ A L - А)*.

Однако, среднее значение (А~ А е) (A, |e— А,) для систем ансамбля, обладающих одинаковой энергией, равно нулю, так как для таких систем второй множитель постоянен. Следовательно, среднее для всего ансамбля равно нулю и

(А, - А)’ - (А - А \*У + (А|е-А)*. (248]

Аналогично^можно показать, что*

(А, - Аг) (3 - S) = (Аг |е - Аг) (в - г). (249]

Очевидно, что в ансамблях, в которых флюктуации энергш е—"ё можно считать незаметными, то же самое справедлив< и для величин, представляемых выражениями вида А1\е — А1.

Свойства величин типа Ах\г будут рассмотрены ниже в гла ве X, посвященной ансамблям с постоянной энергией.

Небезынтересно рассмотреть некоторые общие формулы относящиеся к средним по каноническому ансамблю и обобщаю щие многие из приведенных в этой главе результатов.
so гл. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ

Пусть « — произвольная функция внутренних и внешних координат, а также модуля и импульсов. По определению имеем

все ф-в

и = ^ ^ ие * dpx.. . dqn\ (250)

фазы

дифференцируя по 8, получим

_ все ?-е

фазы

или

ди да и(ф-з) . и дЭ ~ дЭ в* Г" О * дЭ 5

(251)

Полагая в этом уравнении и—1, мы получим

s.

дэ е ;

подставляя эти значения, получим

ди_да иг и s

дЭ~дЭ^Гв~2~^ 0* ’

ИЛИ

—вв»в(—5)(« —«). (252)

Если мы продифференцируем уравнение (250) по а (что может^ обозначать любую из внешних координат) и обозначим

через'ДЪилу — ^, то мы получим

все

Ы-Кя+г-й+^О*- *•••«*

({азы

или

ди ди . и дЬ , иА /осо\

*гв*+ёй+^-- (253)

Полагая в этом уравнении и — 1, мы получаем



ва------

Подставляя это значение, получим
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ 9t

ИЛИ

® бй-"® 5а “ и-4 — и, А— (и — к) (-4 — А). (255)*

Повторные применения правил, выражаемых уравнениями (252) и (255), вероятно, лучше всего осуществляются для частных случаев. Уравнение (252) можно написать также в виде

(г + Д) (и-и) = 0, (256>

где D представляет оператор Поэтому

(г 4- D)h (и-7Г) = 0, (257>

где А—любое целое положительное число. Заметим, что, поскольку е не зависит от 0, (з + D)h можно разложить по-биноминальной теореме. Или мы можем написать

(з + D) и = (з D) и, (258)

а также

(з + D)hh = (* + D)hu. (259}

Но оператор (з + D)h, хотя он в некоторых отношениях проще,

чем оператор без знака усреднения по е, не может быть

разложен по биномиальной теореме, так как е является функцией 0 и внешних координат.

Точно так же из уравнения (254) получаем

откуда ________________

(4+йи==(-е-+?)"'

откуда

(А , a\h sa д\ь-

Ce' + W “=Св+Та) и-

Теорема бинома к этим операторам не применима.

Но если мы, как обычно, различим при помощи индексов, внешние координаты, мы можем последовательно применить

(260):

(261)=

(262)

(263)
92 ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 77 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed