Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
а10, ап), раскладываются лишь на непунктирные спинорные представления.
Такие представления g ->¦ Тд мы назвали аналитическими. Очевидно, что
само неприводимое пунктирное представление ?¦-аналитично. Кроме того,
ясно, что произведение двух аналитических представлений аналитично.
Таким образом, представление 7'*fcl,0) х Т^'0)-аналитическое [и содержит
поэтому лишь непунктирные компоненты Т(д ,0).
Выясним, какие ранги k' могут встречаться у этих компонент. Напомним для
этого, что представления т^1,0) и т{д*'0) неприводимы относительно группы
вращений и имеют веса и ^ соответственно.
268 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
Поскольку каждое представление т^д"0) также неприводимо от-
k' k'
носителыю группы вращений и имеет вес , то пробегает все
[ k\ k"" J kl 4- f \
значения от ¦ 2 - до -: (по одному разу).
Итак, ранги k' непунктирных компонент Т[д''0>, входящих в разложение
if"0) X Tf*'0>. принимают по одному разу значения
h' j | * | - ^21 ~\- ^ 1 ... " k\ -|~ - 2, -|~ k>%.
3. Аналогично предыдущему произведение двух пунктирных представлений
WjY \ * 'T'iOj
19 zA lg
распадается лишь на пунктирные компоненты Tfп \ ранги которых п' могут
принимать значения
п' = | п± - /^21> |^i - пг I 4" 2'. -|- /^2 - 2,, /ij
-)- П2
(,каждое по одному разу).
4. Общий случай. Как было указано вначале, произведение непунктирного
представления Т(д'0) на пунктирное Тд'п)
J>(&,
неприводимо и эквивалентно представлению Тд1'и) в пространстве
симметрических спиноров ранга (k, л):
'Т,№" 0)| ч / 'тДО" Л) 'jyijii 1l)
?д е>\ 1 д - Jg
Воспользуемся этим обстоятельством для разложения на неприводимые
представления
_________ *74^1" Hl) W Т-(А*а, П3)
Т?Г - 1 в А >д >
т. е. для решения общей задачи о разложении произведения неприводимых
конечномерных представлений собственной группы Лоренца. Воспользуемся
равенствами
. Ill) _ 4' \у тЧО" nl)
1Я - 1Я ,А iff
и
^п(Аа, п%)__ 0) у. 'T'tO, Па)
*Я - 1 Я 1я
Тогда для тд получим:
тд - (if" 0) X Tf п']) X'(Tf" 0) X Тд'п,)).
П. 11 § 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 269
Переставляя сомножители и пользуясь ассоциативностью произведения двух
представлений, получаем *):
х __ •> (r)) 0)^ у/ ^ у(0, И,) ^ у(0, 1!,)^
Первая скобка в этом произведении дает представление, содержащее лишь
одни непунктирные компоненты Т(д '0) k' - \ kx-k2 |,
l^i - k2\-\-2, k2. Вторая скобка раскладывается на
пунктирные компоненты Т^,0' "Г) п' = | п1 - п2\, | щ - га2 [ -2, ...
+ "2-2, Очевидно, что представление т содер-
жит всевозможные представления вида '0) X Т(r)'п'^ (ровно по одному разу).
Но каждое такое представление неприводимо и реализуется в пространстве
спиноров ранга (k', п'), т. е.
" 0) ХУ #7Ч(0" ___ ^f) **
x Ig ------ lg
Таким образом, мы окончательно получаем, что произведение двух
конечномерных неприводимых представлений собственной группы Лоренца
Т^",h) и Tg1" {реализуемых спинорами ранга {klt nj) и (k2, п2)
соответственно) раскладывается на неприводимые компоненты Tjj1 'п \ где
k' и п' независимо пробегают значения
ft' = I ^1 k2 |, | kl &2 I + 2, •••> ^1 -1- 2> k1-\-k2,
п' - \пх - п21, |- я21+2............. "!-(-• га2 - 2, /гх -/г2,
и каждая такая компонента 7+ 'п' входит в разложение один раз.
Напомним еще раз, что числа (k, п) связаны с числами (/0, /j), которыми
обычно задаются неприводимые представления в этой книге, с помощью формул
4, = ^-. *i = Mp- + 4 (О
Рассмотрим пример: произведение двух тождественных представлений группы
Лоренца g-^-g.
Заметим, что, как мы видели в § 4, п. 7, такое произведение эквивалентно
тензорному представлению ранга 2. В том же пункте мы разложили это
представление на неприводимые. Найдем это разложение еще раз, исходя из
полученных только что результатов.
Представление g-+ g определяется парой (0, 2). (Пространство содержит два
подпространства, инвариантных относительно группы вращений, а именно,
одномерное: ось лс0 (/ = /0 -0), и трехмерное:
*) Возможность перестановки сомножителей, а также ассоциативность
умножения представлений легко следуют непосредственно из самого опре-
деления произведения представлений (см. ч. I, § 4).
270 ?гл. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
х0 = 0 (l-\tl1 = 2).) Из формулы (1) следует, "то представлен". g-^-g
реализуется спинорами ранга (1, 1) (т. е. эквивалентно пред ставлению
7'У'1)). Итак, мы должны разложить на неприводимые компоненты
произведение
Т^1' T'l1' о
19 JA 19 ¦
Имеем:
T'tK 1) у/ уО"!) ЧР 'р(к',п')
19 19---------- 1 9 >
где
ft'= 0,2; я'= 0,2
(всего получаются четыре компоненты).
Составим таблицу (см. § 4, п. 7)
\ V п' 0 2
0 скаляр /о = 0, 1\- 1 /о = 1, /i = 2 антисимметрический тензор
2 антисимметрический тензор 10 - - 1, 1х = 2 симметрический тензор
ранга 2 со следом, равным 0 (#u + -f- ^зз - too - б), to - б, 1± - 3
Мы снова, разумеется, получили те же четыре компоненты, что и в § 4, п.
7. Из этой таблицы, в частности, видно, что симметрические тензоры со
следом нуль (компонента 7^(2,2)) образуют неприводимое подпространство в
