Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 98

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 132 >> Следующая

двузначного представления общей группы.
jO E 0 iE
5-= i E 0 L t= - IE 0
J'=l
п. 4] § 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
265
Представление полной группы, действующее в пространстве симметрических
биспиноров ранга (k, п), содержит две сопряженные друг другу компоненты
собственной группы. Таким образом, представление (10), (11) полной группы
в пространстве биспиноров можно дополнить до неприводимого двузначного
представления общей группы. При этом операторы Т и J действуют по
формулам
Т:
" *1
Ъ 1
• / ¦ Г
( ' ' I "*1 ••• *к
*1?1
8'п*"8
• Ж1
*п9п 91 Н
.8 .. а ... ак
*к9к *1 -К
J:
а \ = - ia 1
?1...
Ь*1 ¦¦¦ -ib*i ••• а*
I w • / . / *'t/ . . >
г г' '<=?*>
(15)
(15')
а оператор 5 - по формуле (11).
Легко видеть, что если в пространстве симметрических биспиноров R(k, п)
выбрать базис так, чтобы оператор 5 (11) записывался матрицей
0 Е
Е 0
то операторы Т, J (15) и (15') в этом базисе имеют вид
- iE 0 [I 0 IE
У = 0 IE У ' 7= - IE 0
Операторы 5, Т, J антикоммутируют и, таким образом, вместе с Е образуют
двузначное представление группы отражений: е-у±Е; s-+±S; t-+±T\ j= ±J.
4. Тензорные представления полной и общей групп Лоренца. Напомним, что
тензорное представление собственной группы, т. е. представление,
задаваемое формулой
/ = 2 gk'k gk'k ¦ • • gk'k *к k k (l6>
Ь\к\ л2Л2 AA Т2,,Лй
^kfi/ k'
K\hZ Kn
(индексы k{ принимают значения ki - 0, 1, 2, 3; g-, -матрица
II i i II
собственного преобразования Лоренца), естественно дополняется до
представления полной группы Лоренца, если в качестве матрицы в формулу
(16) подставить матрицу пространственного отражения $
10 0 0
0-1 0 0
0 0-1 0
0 0 0 1
ли матрицу - s.
S =
266
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Оператор 5 определяется при этом формулой
где
и
= 0 при kt Ф ki-
Если в формуле (16') выбирается знак плюс в четном числе скобок, то
соответствующая величина называется собственно тензором. Величины же,
преобразующиеся при отражениях с помощью формулы (16'), в которой знак
плюс выбирается в нечетном числе скобок, называют псевдотензорами
(псевдоскаляр, псевдовектор).
Аналогично оператору 5 можно задать с помощью формулы (16) операторы Т и
J, соответствующие временному и пространственному отражению t, j. При
этом мы получим тензорное однозначное представление общей группы.
Тензорное представление собственной группы Лоренца можно дополнить до
двузначного представления общей группы. Согласно общей конструкции,
описанной в § 3, это представление задается так: рассмотрим пару тензоров
tjCl...kn которые незави-
симо преобразуются при собственных преобразованиях Лоренца и при
отражении s по формулам (16) и (16'). При этом тензор tkl...Tcu
преобразуется формулой (16') со знаком плюс, а для тензора t!;, ...*
перед этой формулой ставится знак минус. Операторы Т и J действуют на tk
ь и tp к так:
... ... лп * ••• "-П
§ 6. Произведение двух неприводимых конечномерных представлений
собственной группы Лоренца *)
1. Разложение кронекеровского произведения двух неприводимых
представлений собственной группы Лоренца на неприводимые. Как и в случае
группы вращений, представляет интерес следующая задача: даны два
неприводимых представления собственной группы: одно g -*¦ Тд\ действующее
в пространстве Rv и друг ое
*) Определение произведения представлений см. ч. I, § 4.
§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 267
g-^T[g\ действующее в пространстве R2. Представление =
- Тд1)УСТ[д\ действующее в R1XR2, вообще говоря, приводимо. Какие
неприводимые компоненты оно содержит?
Мы решим здесь эту задачу для случая конечномерных неприводимых
представлений g ->• Тд1) и g Т{д\ При этом нам будет удобно рассматривать
эти представления реализованными в пространствах спиноров (см. § 4).
Напомним, что всякое конечномерное представление собственной группы
Лоренца можно реализовать в пространстве симметрических спиноров ранга
(k, п), где k-число непунктирных индексов, п-число пунктирных индексов,
причем определяющие это представление числа равны
Перейдем к решению нашей задачи. Начнем с частных случаев.
1. В § 4 было показано, что неприводимое представление в пространстве
симметрических спиноров ранга (k, п.), Т[д'п'> является произведением
двух неприводимых представлений-т^"0) " 7^°>п>;
' *р{к, п) *р{к, 0) у(0, п)*"*
>* о - 1 в А 1 в •
Первое из этих представлений реализуется в пространстве непунктирных
спиноров, и мы его в дальнейшем называем коротко непунктирным, второе -
действует в пространстве пунктирных спиноров и врдальнейшем называется
просто пунктирным.
2. Пусть задано произведение двух непунктирных представлений
y(frj> 9) w 0)
1д А 1д
Покажем, что неприводимые компоненты этого произведения суть снова
непунктирные произведения. Для этого воспользуемся сделанным нами в § 4,
п. 3 замечанием о том, что те конечномерные представления g ->¦ Тд, у
которых матричные элементы операторов Тд в некотором базисе являются
аналитическими функциями элементов матрицы второго порядка а: (а00, а01,
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed