Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
уже знаем, в пространстве пунктирных спиноров с нижними индексами по
формуле
а'. - а^а. + а^а. , V
о о
а'. - а^а. -\-
(2)
где матрица ||а"3|| = (а*)-1. При этом базис из векторов {е°, е1), т. е,
базис, в котором записаны все матрицы (о*)-1, совпадает с каноническим
базисом (т)1, т) j) представления ga -"-+-(а*)~1.
I Т "?)
Если теперь рассмотреть представление собственной группы, состоящее из
компонент ga->zha и ga -> г+гя*-1, то операторы этого представления в
каноническом базисе 5 i, гц, vj за-
I "2 ~~2 ~2 "TJ
писываются матрицами четвертого порядка
а 0
0 Jj;- 1 а
(3)
В соответствии с результатами § 3 оператор S в этом базисе должен быть
записан матрицей
5 =
0 Е Е = 11 °
Е 0 Но 1
(4)
Предоставляем читателю проверить непосредственно, не пользуясь
результатами § 3, что операторы Тд и S удовлетворяют необходимым
соотношениям
ST S-1 = Т ,_х,
д д*
S =Е.
Пространство, в' котором действует построенное только что представление
полной группы, обозначим через R}; координаты вектора из в каноническом
базисе обозначим через а0, а1, аaj. Формулы (3) и (4), очевидно,
означают, что при переходе- от одной ортогональной системы координат к
другой с помощью преобразования из собственной группы Лоренца числа a0,
a1, aj, a j преоб-разуютс я по формулам
1 аж>а° а01а', ¦ а10а°апа',
/
ai =
а°()а- + ай\а-\, aua6
(5)
260
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
а при пространственном отражении s - по формулам
(6)
Г
Пусть в каждой ортогональной системе координат четырехмерного
пространства R4 задана определенная с точностью до знака четверка чисел
(а0, а1, аа;), которая при переходе от одной системы координат к другой с
помощью собственного преобразования Лоренца g = ga преобразуется матрицей
(3) по формулам (5); при переходе же от одной системы координат к другой
с помощью пространственного отражения числа (а°, a1, a-Q, a j)
преобразуются по формулам (6). Такая четверка чисел называется биспинором
первого ранга.
Первые две компоненты биспинора (а0, а1) при собственных преобразованиях
Лоренца преобразуются как непунктирный спинор первого ранга с верхними
индексами, а две последние компоненты (a-, a j) - как пунктирный спинор
первого ранга с нижними индексами. При пространственном отражении эти
пары компонент переставляются.
Заметим еще, что при вращениях, которым соответствуют унитарные матрицы а
- (а*)~1, обе пары компонент биспинора преобразуются одинаково.
В пространстве R\ биспиноров первого ранга представление g^-Tg полной
группы может быть двумя различными способами дополнено до однозначного
представления общей группы, если временному отражению t отнести оператор
T=-\-S или Т--S.
Заметим, что в пространстве /?} можно задать также двузначное
представление общей группы (см. § 1 и § 3), если временному отражению t
сопоставить матрицу Т
а полному отражению - матрицу J
- IE 0
0 IE
(это представление общей группы тесно связано с так называемым уравнением
Дирака (см. § 9)). Такое двузначное представление общей группы в
пространстве может быть задано единственным (с точностью эквивалентности)
способом.
Т=
0 IE IE 0 '
П. 2] § 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
261
2. Общий случай. Биспиноры ранга (k, я). Как мы показали в § 4, каждое
неприводимое конечномерное представление собственной группы можно
реализовать в пространстве R" симметрических
спиноров а? с k верхними непунктирными индексами и п ниж-Pi • ¦ • рп
ними пунктирными индексами по формуле
...
а I
ai *i
ага "к-"й
'14
••• i
(7)
* / а .ос
* г
Пара, определяющая это представление, имеет вид (l0 = 2
= -g- -(- 1 ^ • Представление, сопряженное представлению (7), действует в
пространстве R% спиноров ЬТ'"?Ч с п верхними не-
р, • ¦ • pfi
пунктирными индексами и с k нижними пунктирными индексами по формуле
а /
ос, а,
ага
чп
iai
¦ * h kbl::t (в)
После этих напоминаний перейдем к построению неприводимых конечномерных
представлений полной группы.
Рассмотрим, как всегда, два случая.
1. k Ф п или /0 Ф 0. В этом случае, как мы знаем из § 3, неприводимое
представление полной группы может быть построено единственным, с
точностью до эквивалентности, способом в прямой сумме пространств
R(k, n) = Rkn-\-Rl
Выпишем это представление полной группы явно.
Каждый вектор из пространства R (k, п) задается набором чисел
(9)
В пространстве R(k, п) представление полной группы действует следующим
образом. При собственных преобразованиях Лоренца набор | 7ft,
преобразуется по формулам
262
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Ч. II
т. е. пространства R\ и R^ являются инвариантными и неприводимыми
подпространствами относительно представления (10) собственной группы и в
этих пространствах представление (10) совпадает с представлением (7) и
(8) соответственно.
Оператор 5, соответствующий отражению s, зададим так:
а
"1 • • • к -
h---К ' / /
bai ••• v
• / /
Pi-Pfc
"Л? Л
а, 3
П
. ."д
л ^1 ^ Й
'> . , а. : >
Vft 'Г"'п
(И)
