Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 95

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 132 >> Следующая

некоторому спинорному представлению. Здесь мы явно выразим компоненты
тензора п-го ранга tjCl...kn через компоненты спинора а*1-"""" Я1 •••'*"
с "-пунктирными и "-непунктирными индексами.
Для этого рассмотрим тензор вида
tk,... kn == kn (&i =- О" С 2, 3), (36)
где х/с.- координаты вектора. Как мы уже видели в (17") п. 4 § 4,
= 2 I а а.
ь ъ
где а0*"1 - компоненты спинора ранга (1, 1). Отсюда
§ 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
257
Очевидно, что произведение
а"лаад|_.. а*п*п = а'л ¦ ¦ ¦ ¦¦ ""
является спинором с ге-пунктириым и ге-непунктирным индексами (вообще
говоря, несимметрическим). Таким образом, тензор вида (36), а
следовательно, и любой тензор re-го ранга, может быть записан в виде
tk к = 2 о(*: W • • • °(V а'"' °п°'"' "п
" "Л "поя
(суммирование происходит по всем наборам (ях ... . ..ап)).
9. Различие между слинорными и тензорными представлениями группы
Лоренца. Заметим, что тензорное представление группы Лоренца, задаваемое
формулой (35), может быть продолжено до представления всей группы
невырожденных линейных преобразований а в четырехмерном пространстве. Для
этого достаточно подставить в эту формулу матрицу линейного
преобразования а. Таким образом, тензоры которые мы рассматривали
выше, только
в ортогональных системах координат (т. е. таких системах, которые
переходят друг в друга с помощью преобразований Лоренца) можно записывать
в любой системе координат.
Иначе обстоит дело с теми из спинорных представлений Т^к,п\ которые не
эквивалентны тензорным представлениям (в частности, с непунктирным
спинорным представлением ранга 1 или пунктирным ранга 1). Эти
представления группы Лоренца не могут быть продолжены до представления
всей группы линейных преобразований четырехмерного пространства. Таким
образом, спиноры, определенные нами только в ортогональной системе
координат, никаким естественным образом не могут быть определены в
косоугольной системе координат.
§ 5. Конечномерные представления полной и общей групп Лоренца. Биспиноры
В предыдущем параграфе мы реализовали все конечномерные неприводимые
представления собственной группы Лоренца (или, точнее, группы 21
комплексных матриц второго порядка с определителем, равным 1) в
пространствах 7?(*>И) симметрических спиноров ранга (k, п) (k - число
непунктирных, п - число пунктирных индексов).
В этом параграфе мы с помощью спиноров реализуем конечномерные
неприводимые представления полной группы.
Напомним предварительно основные результаты § 3, где были описаны все
неприводимые представления полной группы.
258
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
Всякое такое представление g Тд порождает представление g' -*¦ Тд,
собственной группы, состоящее либо из одной компоненты, либо из двух
неэквивалентных компонент тит.
В первом случае представление g' Тд• эквивалентно своему сопряженному
представлению и определяется, следовательно, парой (О, Zt) или (/0, 0).
Обратно, всякое неприводимое представление собственной группы,
эквивалентное своему сопряженному, может быть дополнено до представления
полной группы, причем это можно сделать двумя различными способами,
отличающимися выбором знака у оператора S.
Во втором случае, когда в представлении полной группы участвуют две
неэквивалентные неприводимые компоненты т и т представления g' -+ Тд,
собственной группы, последние сопряжены друг другу и определяются парами
т-(/0, /х) и т - (l0, -ZJ, причем /0 Ф 0, 0. Обратно, представление
собственной группы Лоренца,
распадающееся на два сопряженных друг другу неэквивалентных неприводимых
представления тих, может быть дополнено единственным, с точностью до
эквивалентности, способом до неприводимого представления полной группы
Лоренца.
После этих напоминаний перейдем к построению неприводимых конечномерных
представлений полной группы.
Начнем с самого простого случая.
1. Биспинор первого ранга. Напомним, что в § 4 мы построили
неприводимое представление собственной группы Лоренца в двумерном
комплексном пространстве 0). действующее по формуле
a0' = fl00fl°-t-fl01a1, | av = а10а°-\-аиа1, )
где а=\\а<?л\\--матрица, соответствующая преобразованию ga из собственной
группы (соответствие ga~a подробно описано в § 1, п. 2). Величину (а0,
а1), преобразующуюся по формуле (1), мы назвали непунктирным спинором
ранга 1 относительно собственной группы Лоренца. Это представление, как
мы видели, задается
парой ^ и его канонический базис образует спиноры Si =(1,0),
5_I = (°. 1)-
о
Из результатов § 3 следует, что в пространстве (/?lj0) непунктирных
спиноров ранга 1 представление (1) собственной группы не может быть
дополнено до представления полной группы Лоренца. Для того чтобы это
сделать, нужно задать еще одно неприводимое представление собственной
группы, сопряженное представлению
ga~>±а, т. е. определяемое парой (--------
п. 1] § 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
259
Представление, сопряженное представлению ga -> zt а, действует, как мы
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed