Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразованием (35) в себя. Таким образом, тензоры вида аЗобразуют
одномерное инвариантное подпространство Rw (представление в RW
определяется парой (0,1)).
Прежде чем продолжать разложение пространства /?0°) дальше, заметим, что
выражение ^ц +^22 + ^33 - ^оо (назовем его следом тензора /*,*,) не
меняется при преобразованиях вида (35). Следовательно, подпространство
симметрических тензоров со следом, равным нулю (обозначим его R9),
инвариантно относительно нашего представления. Оказывается, более того,
/?<9) неприводимо. (Мы убедимся в этом
(35)
П. 8] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 255
позже, см. § 6.) Найдем пару (10, /х), определяющую неприводимое
представление в R&K
Заметим с этой целью, что вращения Ц^дЦ в формуле (35) никак не действуют
на индекс kt = 0, т. е. группы компонент тензора
fei&a ¦ {^Оо}> {^01=^10> ^02 === ^20> ^03"^Зо)> {^И> ^22> ^33> ^12 = ^21>
^31==^13г t23 = t32} преобразуются при вращениях независимо. Отсюда
подпространство симметрических тензоров t^, у которых компоненты t^ - t01
= t02 - 103 - 0, инвариантно относительно группы вращений. Ненулевые
компоненты таких тензоров tu, t22, t33, t12, t13, t23 образуют
симметрический тензор второго ранга относительно группы вращений (со
следом, равным нулю). Таким образом, представление группы вращений,
порожденное в R(°) формулой (35), совпадает с представлением этой группы,
действующим в пространстве симметрических тензоров второго ранга со
следом, равным нулю. Последнее, как мы знаем из первой части книги (см. §
5 стр. 72), неприводимо и имеет вес I = 2. Аналогичным образом
убеждаемся, что подпространство RW тензоров, у которых отличны от нуля
лишь компоненты ^ох = ^хо, t02 = t20, t03-t3Q, неприводимо относительно
группы вращений с весом 1=1. Наконец, тензор из Z?W с компонентами ^=1,
tn = t22 -
= t33 - -^-, ti,^ - 0 при k±=hk2 образует скаляр относительно группы
вращений (представление с весом /=0).
Таким образом, неприводимое представление собственной группы Лоренца,
действующее в подпространстве RW, содержит веса 1=2, 1, 0 и,
следовательно, определяется парой (10, /х) = (0, 3).
Итак, все пространство R(10> симметрических тензоров ранга 2 мы разложили
на два неприводимых подпространства: скаляр 8ft^2(7?(1)) 0представление с
парой (0, 1)) и RW - симметрические тензоры со следом нуль {представление
с парой (0, 3)).
Заметим, что оба эти подпространства инвариантны относительно
представления полной группы Лоренца, задаваемого формулой (35).
Антисимметрические тензоры: tik - - tki. Заметим снова, что две группы
ненулевых компонент такого тензора t01 =-t10r
to2 - ^2о> ^оз '=" ~ ^зо и ^i2 = -^2i> ^13= ^3i> ^гз== ^зг преобра-
зуются при вращениях независимо. Следовательно, трехмерные
подпространства тензоров, у которых либо первая, либо вторая группа
компонент равна нулю, инвариантны и неприводимы относительно группы
вращений (и имеют вес /= 1). Из этого немедленно вытекает, что
представление собственной группы Лоренца в RW приводимо ^неприводимое
представление собственной группы не содержит двух одинаковых весов) и
состоит из двух неприводимых представлений,
действующих в пространствах /?(3) и Rи содержащих ровно один вес
1-1. Пары, определяющие такие представления, имеют вид (±1, 2).
Как было отмечено на стр. 254, тензорное представление вместе с каждой
неприводимой компонентой содержит сопряженную. Поэтому
"256 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
представления, задаваемые в R^ и 7?(3>, не эквивалентны и одно m3 них
задается парой (1, 2), другое - парой (-1, 2).
Пространство RW антисимметрических тензоров tkk, как видно из формул
(35), инвариантно относительно пространственного отражения. Поскольку RW
состоит из двух сопряженных компонент, то в соответствии с результатами §
3, это означает, что представление ,полной группы, задаваемое в RW
формулой (35), неприводимо.
Таким образом, пространство /?(*) антисимметрических тензоров ранга 2
раскладывается на два подпространства и RW неприводимых относительно
представления собственной группы Лоренца. Пары, определяющие эти
представления, равны (-1, 2) и (1, 2). Представление полной группы
Лоренца в пространстве R<в) неприводимо.
Подведем итог сказанному.
Пространство тензоров ранга 2 раскладывается в сумму
четырех подпространств, неприводимых относительно представления (35)
собственной группы Лоренца:
1) R{1)h,k3 - скаляр (пара (0, 1));
2) /?<9> - пространство симметрических тензоров со следом Ai + ^22 ~Мзз -
^оо> равным нулю (пара (0, 3));
3 и 3') два пространства RW и R(3) антисимметрических тензоров (пары (-1,
2) и (1, 2)). Сумма пространств /?(*) обра-
зует все пространство Rантисимметрических тензоров ранга 2.
Пространства RW, /?(9) и /?(*) инвариантны и неприводимы •относительно
представления полной группы Лоренца, задаваемого формулой (35).
В заключение этого пункта сделаем следующее замечание. Как мы знаем,
всякое конечномерное представление, в том числе и тензорное, эквивалентно
