Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
спиноров ранга (k, 0), в частности в подпространстве R(k'o)
симметрических спиноров, операторы представления ga^-Ta во всяком базисе
записываются матрицами, элементы которых суть комплексные аналитические
функции от ("да а10, а01, ап). Очевидно, что это свойство остается и у
матриц любого конечномерного представления, эквивалентного
представлению Т'д' 0).
Для представления (13) в пространстве пунктирных спиноров; как видно из
формулы (13), элементы матриц операторов Тд в любом
t0t1 . . . O.J.
*) В спинорных обозначениях такой спинор можно записать ; 1 * =
= а а ... 8g я , где отлична от нуля компонента, соответствующая набору1
(м\ . р*).
244
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
базисе являются полиномами от (оад, a0i> flio> flu)> т- ,е. антиана-
литическими функциями переменных (%,, а01, а10, ап). Это свойство
матричных элементов имеет место и для неприводимого спинорного
представления ранга (0, п) и любого эквивалентного ему представления.
Наконец, матричные элементы у операторов представления (14) в
пространстве симметрических спиноров ранга (k, п) ни в каком базисе не
являются ни аналитическими, ни антианалитическими функциями переменных
(п00, а01, а10, пп).
Из сказанного следует, что если у некоторого конечномерного представления
матричные элементы операторов в некотором базисе являются аналитическими
(антианалитическими) функциями переменных (ат, а10, а01, ап), то
неприводимые компоненты этого представления эквивалентны лишь
непунктирным (пунктирным) спинорным представлениям, т. е. представлениям
рангов (k, 0) ((0, ")).
Это замечание мы используем в § 6.
В заключение этого пункта в качестве примера рассмотрим, как векторное
представление собственной группы Лоренца, действующее в пространстве R^\
реализуется спинорами. В п. 7 § 2 мы нашли, что представление g-^-g
определяется парой (/0, /г) = (0, 2). Отсюда следует, что это
представление эквивалентно спинорному представлению Тдранга (1, 1) и
реализуется в пространстве #(i,i) спиноров с одним пунктирным и одним
непунктирным индексом. Найдем сейчас явное выражение координат вектора
х0, xv х2, х3-через компоненты спинора (а00, а01, а10, а11').
Предварительно заметим, что пространство (R1 [) является четырехмерным
комплексным пространством. В связи с этим представление g^-g,
эквивалентное представлению Тд,1) и действующее, как мы до сих пор
считали, в четырех-мерном действительном пространстве, естественно
теперь считать
действующим в четырехмерном комплексном пространстве; это означает, иными
словами, что координаты х0, xv х2, лг3 могут быть комплексными.
Напомним теперь, что основное соответствие ga~ya между собственными
преобразованиями Лоренца и матрицами a (deta = l)
строилось так: если вектору (х0, xv х2, х3) отнести матрицу с
х0 - х3 х2 - 1 хг х2 1х± х3 -)- х3
то каждое преобразование матриц с вида
с' - - аса*
порождает в пространстве Rсобственное преобразование Лоренца^, которое мы
и сопоставляли матрице а: а - ga. При этом в случае действительных
координат jc0, xv х2, х3 матрица с - эрмитова, в случае же, как мы теперь
предполагаем, комплексных координат х0, xv
П. 4] § 4. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 245
х2, х3 матрица с может быть произвольной комплексной матрицей второго
порядка.
Итак, мы получили, что всякое собственное преобразование Лоренца над
векторами х: x' = gax, с помощью матриц с может быть записано в виде
Г Г Г . /
Xq Х§ X<i 1Х-у
/ , . г / , /
*2 + 1Х\ хо + хз
= а
Х0 Х3 Х2 lXl Х2 + iXl Х0 + Х%
а .
(170
Спинор (а00, а01, а10, а11) ранга (1, 1) также можно записать в виде
матрицы
" "оо "оi
г(1. 1)
"ю "и ||
При этом представление Тд'ч, как нетрудно проверить, действует на матрицу
с по формуле
с' - аса*
или, подробнее,
"/0'° а'01' "во "о!
. . = а а .
| а'10 а'п "W "и I
Сравнивая полученную формулу с формулой (170, мы видим, что
а°° - х0 - х3, аР1 = х2- ixlt
аи = л:0 + л:з, а10 = х2 -j- txv
"01 ¦
Отсюда
"00 "11
с° =-?-----------
"10 -I- "oi
I" ___ ... 1
"10 _ "01 *1=-щ-
"11 _ "00
Короче эти формулы можно записать так:
Xh = Т S 1
(17")
где
"(01
"(*)
так называемые матрицы Паули
I 1 0 0 1 1
1 0 1 , а(!) = 1 0 оР) 1 0 а(3> =
- 1 0
0 1
Сделаем еще одно замечание. Представление Тд' ^ в пространстве
спиноров ранга (1, 1) является произведением представлений Тд'0'* т( о,
1)
и I д , действующих в пространствах непунктирных и пунктирных
246 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. II
спиноров соответственно. В связи с этим координаты вектора х0, xlt х2, х3
можно выразить через компоненты непунктирного спинора (а0, а1) и
пунктирного (а0, а1). Действительно, если положить
а°а° - al'0i aoai __ аоi' aiao = aio; _ flii>
то числа (а00, а01, а10, а11) образуют спинор ранга (1, 1). Отсюда
получаем:
1 ХЧ (А') а а (tm)аа ¦
Это и есть выражение вектора через пунктирный и непунктирный спиноры.
5. Опускание индекса у спиноров высших рангов. Напомним, что из
спиноров (а°, а1) и (а0', а') первого ранга с помощью матрицы И х,зос П =
