Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
aS ls = 0
Отсюда для матрицы X(t) = T(^t, t\2, ^3) получается дифференциальное
уравнение
¦?*(*) = (Л1?1 + Л2$2 + Лзу^(0 *). (5)
Кроме того, должно выполняться начальное условие
X (0)- Т(0, О, 0) = ?. (5')
В силу теоремы единственности для системы дифференциальных уравнений
уравнение (5) и начальное условие (50 определяют X(t) единственным
образом. В частности, однозначно определена и j^(l)=;
- 74?!, У У-
Мы доказали, таким образом, что представление однозначно определяется
заданием матриц Л1( Л2, Л3, отвечающих бесконечно малым поворотам.
Уравнение (5) можно решить в явном виде. Его решение, удовлетворяющее
начальному условию (50, выглядит так:
X (0 ' gt (-^1^1 + Да^а+Дв^з)
В частности,
7ЧУ У У = еЛ&+Л&+л,ъ. (6)
Таким образом, если матрицы Аъ Л2 и Л3, соответствуют при представлении
бесконечно малым поворотам вокруг осей координат, то матрицы Гг=7'(^1,
%г, |3), дающие это представление, определяются по Ак формулой (6).
2. Соотношения между матрицами Ак. Выясним теперь, какими можно задать
матрицы Аи Л2, Л3, чтобы матрицы Тд, определенные формулой (6), могли
действительно давать унитарное представление группы вращений. С этой
целью мы выведем уравнения, которым должны удовлетворять матрицы,
соответствующие при представлении бесконечно малым поворотам, и затем в
п. 3 решим эти уравнения.
Пусть gQ- определенное вращение, a g - произвольное. Рассмотрим вращение
go = ggog~1-
Матрицы вращений g0 и gQ получаются друг из друга подобным
преобразованием. Это значит, что оба эти вращения представляют собой
*) Равенство (5) представляет собой систему линейных дифференциальных
уравнений, которая получится, если приравнять соответствующие элементы
матриц, стоящих в левой и правой частях.
**) См. добавление к § 2. *
П. 2] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 25-
поворот на один и тот же угол ср каждый вокруг своей оси. Если вращение
g0 определяется вектором т] = (?)!, tj2, tj3), то g0 определяется
вектором т], в который переходит tj под действием g:
Действительно, вектор tj не меняется при вращении g0, т. е* g0т] = т].
Отсюда gQy\ = ggog-iV = т). Последнее равенство означает,, что т] не
меняется при вращении g0, т. е. лежит на оси вращения. Так как абсолютная
величина вектора tj, равная углу поворота, не меняется при вращении g, то
[ tj | = | tj | и tj есть вектор, определяющий вращение g0.
Так как при представлении произведению вращений отвечает произведение
матриц Тд, то из равенства g0 = gg0g-1 мы получаем:
Т т Т ,= Т~ (7>
д да д_1 да• v '
Из этой формулы выведем теперь соотношения между матрицами А1г А2, и
Л3. Для этого предположим, что вращение g0, а следовательно,
и g0 мало, т. е. т] и tj- малые векторы, и представим
Tffil
и Т~ по формуле (3):
Тд0 - Е-\- Л1т;1 Д- Л2т)2 -|- Л3т)3 -|- . . .,
Тда - Е-\- Л1т)1 -}- Л2т;2 -|- Л3т)3
Подставив это соотношение в формулу (7), мы получим:
Тд(Е + Л17]14-Л27)2-(-Л3т)3 Д- . . .) Тд_1 =
- Е Л^! Д- Л2т)2 -f- Л37]3 -}- . .. (8>
Поставим каждому малому вектору tj в соответствие преобразование А^ -
Л^Д-Л2т]2-|-Л3т)3, определяющее с точностью до малых высшего порядка
поворот, задаваемый этим вектором. Тогда, сравнивая члены первого порядка
в соотношении (8), мы получаем формулу
__ EgA^Tg-l = Л^ , (9)
где т] = g-q.
Так как при умножении вектора т) на число матрицы Л^ и Л^" умножаются на
то же число, то очевидно, что после вывода формулы (9) мы можем отбросить
предположение о малости вектора т]~
Для того чтобы из (9) получить соотношения между Av Л2 и Л3). предположим
теперь, что вращение g есть поворот на малый угол а вокруг оси Ох, а
вектор tj - единичный вектор, направленный вдоль, оси Оу: tj = (0, 1, 0).
Тогда tj - вектор, полученный из tj вращением g, т. е. единичный вектор,
лежащий в плоскости yOz под.
26
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
углом а к оси Оу. Компоненты вектора будут, следовательно, с точностью до
малых выше первого порядка относительно а иметь вид
0.
'42=
7)3 = а.
'Таким образом, подставляя Тд по формуле (3), где ^ - а, а \2 =¦ =
0,
имеем:
Тд = Е1-\-А]а-\~..., Тд_1 = Е1 - Аг а-)-...,
АТ) = Аг,
= A<i -j- яЛ3.
Подставляя эти выражения в формулу (9) и сравнивая члены первой степени
относительно я, получаем формулу
АХА2 - Л2Л1 = As.
Выражение АВ - В А называется коммутатором матриц Л и В и обозначается
[А, В]\ АВ - ВА = [А, В]. Полученное соотношение можно, следовательно,
записать в виде
[Ait Л2] = Л3.
Аналогичным образом можно получить два других соотношения:
[Л2, А3] = Аи [Л3> А)] = Л2.
Тем самым показано, что если g-^Tg-произвольное представление группы
вращений, то матрицы Аи Л2 и Л3, отвечающие
при этом представлении бесконечно малым поворотам вокруг
¦леей координат, удовлетворяют соотношениям
[Av Л2] = Л3, ^
[Л2, Л3] = Аи I (10)
[Л", Л,] = Л2. j
'Эти соотношения мы будем в дальнейшем называть соотношениями
коммутации.
Формулы (10) показывают, что если заменить матрицы Av Л2 и Л3
координатными ортами трехмерного пространства, то соотношения коммутации
