Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь этим построим в пространстве R оператор L, не кратный
единичному и перестановочный со всеми операторами Тд представления g->-Tg
полной группы. Это и будет означать, что представление g ->¦ Тд
приводимо.
Оператор L строится так: выберем в Rx и Rx базисы так, чтобы
операторы Т^г и Т'д' записывались в них одинаковой матрицей Ад.
(Это возможно, поскольку представления ТВ' и Тд' эквивалентны.) Объединив
оба эти базиса, мы получим во всем пространстве R базис, в котором
оператор Тд' запишется матрицей
Ад' О
|0 Ад'
а оператор S, переставляющий пространства R" и Rx
О jo О
Поскольку S2 = E, то сс - Е, и окончательно
О all
¦ матрицей
S =
-1 or
Соотношение STg'S~ - 7V*)-i превращается, очевидно, в
аАд'С~г =И А(д')*-1.
Рассмотрим теперь оператор
51 =
В силу только что сказанного
s^sr'^Tw-u (3W)
Наконец, строим оператор
L = S1S = (
а О О a
О
Е О
Из (30 и (3"0. очевидно, вытекает, что LTg< = Tg'L. Кроме того, с помощью
непосредственной выкладки убеждаемся, что LS = SL. Итак, мы построили
оператор L, не кратный единичному и перестановочный со всеми операторами
представления полной группы. Таким образом, доказано, что для
неприводимого представления полной
группы компоненты Тд и Тд представления собственной группы не
эквивалентны.
П. 3] § з. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 217
Перейдем к нахождению пар (/0, 4), которыми определяются неприводимые
компоненты представления собственной группы, порожденные неприводимым
представлением полной группы Лоренца.
Первый случай. Представление g' ->• Тд' собственной группы Лоренца
(порожденное неприводимым представлением полной группы Лоренца)
неприводимо.
Как мы знаем, это представление эквивалентно своему сопряженному.
Напомним, что если неприводимое представление собственной группы Лоренца
g' -> Тд< определяется парой (/0, 1Х), то сопряженное ему представление
g' -> Т также неприводимо и определяется
парой z±=(/0, -^i). Отсюда следует, что неприводимое представление,
эквивалентное своему сопряженному, должно определяться парой вида (О, IJ
или (10, 0) (т. е. одно из чисел /0 или 1Х равно нулю).
Итак, в случае, когда неприводимое представление полной группы Лоренца g-
+Tg порождает неприводимое представление собственной группы g' -> Т пара
(/0, 1Х), определяющая это представление, имеет вид (0, /J или (/0, 0).
Второй случай. Представление g'-*-Tg> собственной группы распадается на
две неприводимые компоненты.
Пусть одна из них задается парой (/0, 1Х). Так как вторая компонента
сопряжена ей, то она задается парой zt(/o>-к)- Ввиду того, что эти
компоненты не эквивалентны, ни одно из чисел /0 и 1Х не равно нулю.
Таким образом, в случае, когда представление собственной группы,
порожденное неприводимым представлением полной группы, состоит из двух
компонент, то последние задаются парами (/0, 1Х) и z±z(Iq, -1х), причем
ни одно из чисел /0 и 1Х не равно нулю.
3. Оператор пространственного отражения. Найдем вид оператора
пространственного отражения S в базисе {?гт} - каноническом базисе
представления g'-^-Tg' собственной группы.
1. Рассмотрим сначала первый случай (представление g'-^-Ty
неприводимо).
Напишем:
== • (4)
I'm'
Мы определим общий вид чисел Simvm<.
Воспользуемся соотношениями (1), означающими, что оператор 5 коммутирует
с операторами представления группы вращений g ->¦ Т~
(g-вращение), порожденного представлением полной группы. В п. 8
предыдущего параграфа был найден общий вид матрицы такого оператора в
каноническом базисе {Sj*,}. Согласно полученной там формуле (32) числа
slmVm, имеют вид
(4')
218
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
(индексы т и т', фигурирующие в формуле (32), мы опускаем). Нам остается
найти числа sz.
Воспользуемся для этого соотношением SF3 =- F3S или SF3%im= - - F3S^m.
Подставляя в это равенство выражение для оператора F3 (см. § 2, (14)) и
учитывая, что число Аг, входящее в выражение для этого оператора, равно в
нашем случае нулю, мы получим:
st = - "1-1 *)•
Таким образом, получаем:
s, = (-lf s,0
(/0-наименьший вес, участвующий в представлении g'Tgf). Так как S2 = E,
то s, = 1.
In
Итак, для оператора S мы получаем два выражения, отличающиеся лишь
знаком,
= (5)
ИЛИ
seIIB=(-if+4m. (50
Это и есть окончательный вид оператора 5.
Заметим, что оба выражения (5) и (50 для оператора 5 приводят к двум
неэквивалентным представлениям полной группы **).
Таким образом, получили следующий результат:
В случае, когда неприводимое представление полной группы Лоренца g -> Тд
порождает неприводимое представление собственной группы g' -> Тд.,
последнее эквивалентно своему сопряженному g' ->¦ {т. е. определяется
парой вида (0, /0 или (10, 0)),
а оператор S в каноническом базисе представления g' -*¦ Тд<
имеет
вид (5) или (50 (отличающийся от первого лишь знаком).
Легко видеть, что, по существу, нами доказано также обратное утверждение:
*) Согласно формуле (16) § 2 Aj = .. ° 1От ; так как либо 1й = 0, либо
