Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 8

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 132 >> Следующая

5, § 7, п. 2) также с бесконечномерными унитарными представлениями. Мы
говорим, что нам задано бесконечномерное унитарное представление, если
каждому элемен-ту g отвечает унитарное преобразование Тд в гильбертовом
(бесконечномерном евклидовом) пространстве так, что при этом выполнены
условия (25) и (26). Представление называется непрерывным, если для
всяких векторов \ и т) {Тд\, т)) есть непрерывная функция от g.
Теорема о разложении представления на неприводимые имеет место и для
бесконечномерных представлений группы вращений. Мы сформулируем ее без
доказательства. Пусть задано унитарное
22
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
представление g-^-Tg группы вращений в гильбертовом пространстве R. Тогда
существуют конечномерные подпространства
/?1> #2 Rn инвариантные относительно Тд, в каждом из
которых представление Тд неприводимо. Эти подпространства Ri попарно
ортогональны, и сумма R{ есть все пространство R. Это значит, что каждый
вектор ? из R можно разложить в сходящийся ряд *)
? = + '2 + • • ¦ + + • • ¦ > где векторы ^ принадлежат инвариантным
подпространствам Rt.
§ 2. Бесконечно малые повороты и отыскание неприводимых представлений
группы вращений
В этом параграфе мы опишем все представления группы вращений. Мы уже
знаем, что для группы вращений всякое представление эквивалентно
унитарному, и поэтому мы можем ограничиться определением унитарных
представлений этой группы.
Сначала будет найден вид всех неприводимых представлений, а затем
показано, как произвольное представление разлагается на неприводимые.
1. Определение матриц Ак, отвечающих бесконечно малым
поворотам. Пусть нам задано унитарное представление группы вращений О.
Это, как мы знаем, означает, что каждому вращению g отвечает некоторая
унитарная матрица Тд= \\aik(g0|] так, что при этом произведению вращений
gl и g2 отвечает прэизведение матриц Тд. И Тд,, т. е.
Тд,д.- Тд,Тд,. (1)
В частности, единичному вращению g-e отвечает единичная матрица Е.
В качестве параметров, определяющих вращение g, возьмем координаты ?!,
?2> вектора, направленного вдоль оси вращения, длина которого равна углу
поворота (эти параметры были введены в п. 2 предыдущего параграфа). Тогда
матрица Тд будет функцией этих же параметров, т. е. Тд- Т(^, %2, У- -
Можно доказать, что Тд имеет Производные любого порядка по ?1( ?2> **)•
Так как вектору
*) Ряд S-l -(- ... -j- ?п... называется сходящимся к 5, если Sn = Si +
... ... -f- ?", стремится к 5, т. е.
(t - S", ? - Sn)-*-0 при п-*- со.
**) Доказательство см. в добавлении к этому параграфу. Напомним, что
зависимость матрицы от каких-либо переменных и дифференцируемость ее по
этим переменным означает, что элементы этой матрицы являются функциями
соответствующих переменных и дифференцируемы по ним.
п. 1] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 23
51==!;2 = ?3 = 0 отвечает вращение на нулевой угол, т. е. единичное
вращение, то
Г (О, О, 0) = Е. (2)
Разложим Т(?t, Е2> Е3) около значений = ?2 = Е3 = 0 по формуле Тэйлора.
Тогда
Т&, Е2, ?з)==? + ^1 + Л2$2 + Л35з+ • • - , (3)
где Е - единичная матрица, а Аи А2, А3 - постоянные матрицы, являющиеся
частными производными матрицы 7'(?1, Е2, Е3) при ?1 = ё2 = 53 = 0 по Ех,
Е2> Е3 соответственно. Многоточие означает, что мы не написали
остаточного члена формулы Тэйлора, который
является малой выше первого порядка по сравнению с
Мы покажем, что матрицами Ах, А2, А3 представление, т. е. функция Т(ух,
Е2, Е3), вполне определяется, а затем найдем возможные тройки Av Аг, А3.
Матрицы Av А2, А3 имеют простой смысл. Чтобы выяснить это, рассмотрим
поворот на угол %х вокруг оси Ох. В представлении ему отвечает матрица
Т&, О, 0) = ? + Л1Е1+...
Из этой формулы видно, что матрица Т(Et, 0, 0), отвечающая повороту на
бесконечно малый угол ^ вокруг оси Ох, определяется с точностью до малых
высшего порядка матрицей Av Матрицы Ах, А2, А3 мы назовем матрицами,
отвечающими бесконечно малым поворотам вокруг осей координат.
Покажем теперь, что матрицы Ал определяют представление, т. е. что, зная
лишь эти три матрицы, мы можем найти 7"(5Х, 52, Е3) для произвольных Ег,
Еа. Е3. Для этого возьмем произвольный вектор (Ei> Е2, Ез) и рассмотрим
два вращения вокруг этого вектора: g(tiXrt%2, Ц3) и g'CsEi, s;2, sE3) *)•
Произведение этих двух вращений есть, очевидно, поворот вокруг той же
оси, определяемый параметрами (^-j-y)^, (^-f-s)E2> ?з:
ff((f + s)E!, {t -ф-s) Е2, (* + s)53) = ff("i, "2. Йз)г("51. *Е2, sc3).
(4)
Так как при представлении произведение переходит в произведение, то мы
имеем также
74^ + 5)^, (^ + s)E2, (t + s)Z3) = T(ttх, С-2, 3) T(s\x, sE2, sE3). (40
Продифференцируем обе части равенства (40 по s и положим s = 0. Мы
получим:
~Т(Лг, йг, Я3) = sc2, sEs)]3_o- 7*("i, ",)•
*) Они являются поворотами на углы t g(r) -[" ?2 -)- ?зи *Уе?+е!+*з
соответственно.
24
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Но в силу формулы (3)
~rs T{s\v s?2, s?3) I = -|-Л2?2 -f- ^4з^з-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed