Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем, какие пары (/0, 1Х) определяют унитарные представления. Из
формулы (13) видно, что
*) Это обстоятельство следует из того, что { m } - собственные векторы
эрмитова оператора Н3 и при разных m имеют различные собственные
значения, а также из формул (17), (18), (19), для двух сопряженных между
собой операторов Н+ и ЛГ_.
Тд (?)-Р + + 0 (?)•
Так как Тд^-унитарный оператор, то
Т*д = Е - ///зср -f- о (ср) = Е - LH3ср + о (ср)
или
(24)
$ *
Н+ = Н_, F+ = F_.
(Рз^=1т> ?lm) - mj^l C'-ltn' ?lm,)
И
(^lm> Р3%lm)- mAi (%im, %ind'
откуда Аг - At, т. e. Аг - действительное число. Но Аг -
Ugh
/(/+!)•
Следовательно, могут быть два случая:
1) - чисто мнимое (/0-любое),
2) Z0 = 0.
Найдем ограничения, накладываемые в случае 2). Напишем:
И
(25)
206
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
Таким образом, Сг =- Сг, т. е. Сг-чисто мнимое. Для этого
(Г- - 12Л(Г- - 12Л 1
должно быть 4/2 _ 1------------^ 0- Но I > 10 и / > у,
следовательно,
2
/2 -1\^0. Если имеет место 1), т. е. 1Х- чисто мнимое, то последнее
неравенство выполнено. Если /0 = 0, то следующий вес 1=1 и,
следовательно, 1 - Zi^O, т. е. либо 1Х- действительное число и либо
1Х- чисто мнимое, и мы приходим к случаю 1).
Таким образом, неприводимое представление собственной группы Лоренца
унитарно лишь в следующих случаях:
1) 1Х- часто мнимое, 10 - любое (целое ила полуцелое),
2) Z0 - 0, 1Х действительно и |/х|<ф1.
Совокупность неприводимых унитарных представлений, соответствующих случаю
1), называется основной серией представлений. Остальные неприводимые
унитарные представления образуют дополнительную серию.
Заметим, что неприводимое унитарное представление конечномерно, лишь
когда lQ = 0, lx= 1. Это представление одномерно; других конечномерных
неприводимых унитарных представлений нет.
9. Инвариантная эрмитова билинейная форма *). В предыдущем пункте мы
выяснили, в каком случае неприводимое представление g -^>-Тд собственной
формы унитарно, т. е. когда такое представление допускает положительно
определенную инвариантную эрмитову форму.
Мы видели, что это встречается редко. Оказывается, что даже если
отбросить требование положительной определенности и искать все те
неприводимые представления, которые допускают просто невырожденную **)
инвариантную эрмитову форму (вообще говоря, индефинитную), то этих
представлений хотя и больше, чем унитарных, но еще по-прежнему мало; ниже
мы найдем все такие представления.
Но гораздо чаще встречается другая задача: в каком случае представление
собственной группы g -> Тд, состоящее из двух неприводимых компонент,
допускает инвариантную невырожденную эрмитову форму или, что одно и то
же, когда из двух величин, преобразующихся по неприводимым представлениям
собственной группы Лооекца, можно составить невырожденную инвариантную
форму? В этом пункте .мы решим эту задачу и решим ее, поскольку выкладки
становятся не намного сложнее, в более общем виде, а именно; выясним, в
каких случаях представление собственной группы (состоящее из любого числа
неприводимых компонент) допускает инва-
*) Результаты этого пункта нам понадобятся лишь во второй главе. Поэтому
при первом чтении можно этот пункт опустить.
**) Форма (фх, ф-) называется невырожденной, если в пространстве R нет
вектора ф0 такого, что (ф, ф0) = 0 Для всех Ф-
П. 9] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
207
риантную невырожденную эрмитову форму, а также найдем ее общий вид.
Пусть пространство R, где действует представление g -> Тд собственной
группы, раскладывается в прямую сумму неприводимых подпространств Rz, в
которых действуют неприводимые компоненты т представления g -> Т" с
парами т ~ (/J, if). Выберем в каждом из R канонический базис
{Объединение этих базисов даст базис во всем пространстве R.
Запишем эрмитову билинейную форму ф2) в базисе
ОЬ. = ХшУгт', (26)
где xim, у I'm' - координаты векторов 61; ф2 в базисе а ма-
трица \\ailti',П'\\ - А - матрица билинейной формы, причем a?mVm,- -
й>гт'1т- В случае невырожденной формы б2) матрица А также не вырождена,
т. е. никакой вектор ?ф=0 не переводится этой матрицей в нуль.
Предположим, что форма (<[ч, ф>) инвариантна относительно представления g
Тд. Выясним, какие условия это требование налагает на матрицу А.
Пусть оператор представления g-> Тд записывается в базисе {Ь]т } матрицей
Uд. Очевидно, что для матрицы А инвариантной формы 0Ь> Фа) выполнено
соотношение
UgAlfg = A
ИЛИ
AU~X = U4A. (27)
Вращениям g, как мы знаем (в базисе {}), соответствуют унитарные матрицы.
Отсюда для вращений получаем:
UgA = AUg, (28)
т. е. матрицы Uд, соответствующие вращениям g, перестановочны с матрицей
А.
Рассмотрим гиперболический поворот 'g03 в плоскости {х0, х3). Запишем при
малых о матрицы U!Ji3 ^ 'и
(А~ P~h hPз + 0 (т')> ]
,*-1 * } (29)
Уд,-з И - ( ?) - п + г-?Рз 4" 0 (?) )
(где Fз - матрица оператора F3).
Подставляя соотношения (29) в равенство (27), получаем:
AF3 = F*3A. (30)
208
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
