Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
представление?
Утвердительный ответ на этот вопрос будет дан в дальнейшем: мы фактически
построим неприводимые представления собственной группы Лоренца,
отвечающие каждой допустимой паре (/0, /х).
5. Однозначные и двузначные представления собственной группы Лоренца.
Выясним, каким парам (l0, /х) соответствует однозначное представление
собственной группы, а каким - двузначное.
В предыдущем параграфе мы видели, что если неприводимое представление
собственной группы Лоренца двузначно или однозначно, то одновременно с
ним двузначна или однозначна каждая неприводимая компонента представления
группы вращений, порожденного этим представлением группы Лоренца.
Применим это обстоятельство к представлению группы вращений с наинизшим
весом 10.
В части I книги было показано, что' неприводимое представление группы
вращений, задаваемое целым весом, однозначно, а полу-целым весом -
двузначно.
Итак, неприводимое представление собственной группы Лоренца однозначно
при 10 целом и двузначно при 10 полуцелом.
6. Сопряженные представления. Отметим, что с каждым представлением g-+Tg
тесно связано другое представление g -" действующее в том же
пространстве. Представление g->¦ мы будем называть сопряженным к
представлению g -" Тд. Поскольку
П. 6] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 201
сопряженным к представлению gT(^gt,)_1 служит исходное представление g-
+Tg, то оба представления g -Тд и g-->7(,j_ 1 взаимно сопряжены, и мы
будем их называть просто сопряженными представлениями.
Найдем, как связаны инфинитезимальные операторы Н+, Н_, Н3, F + , F , F3
представления g-+Tg и инфинитезимальные операторы Н+, Н_, Н3, F+, F F3
представления g->T^-\.
Напомним с этой целью, что для преобразований g0i(f), - 1,2, 3,
выполняется соотношение
gli = goi (20)
и, следовательно, (g^)-1 = &й1- ^ля преобразований же^и (k, I = = 1,2, 3)
g*Ki = g^i и (g^)-1 - ёЫ' Отсюда вытекает, что инфинитезимальные
операторы представления g -7(ff*) -1 и Bi связаны с инфинитезимальными
операторами представления g -+Тд Aik и Bj следующим образом:
| i, k =1,2, 3, (21)
Bj- В,, j
и следовательно,
В+ = -В+, F_ = -F_, ¦ F3 = -F3. (22)
Действительно, первое из написанных равенств (21) сразу вытекает из того,
что i=Tg_^ (J, k- 1,2,3), второе-получается из
следующих очевидных равенств:
d rj-% J d
= -в".
9 = 0
Из равенств (21) следует, что у сопряженных представлений g-+ Тд и g->-
T^-i одни и те же инвариантные подпространства. Действительно, поскольку
операторы Aik, Вц самое большее знаком отличаются от операторов Аа, В",
то подпространства, инвариантные относительно первой шестерки операторов
(а тем самым инвариантные и относительно представления g -" Тд),
инвариантны также относительно второй шестерки AiJc, Bi (и,
следовательно, относительно представления ->7^-1).
Из этого, в частности, вытекает, что сопряженные представления g->Tg и g-
+T^gV)-1 одновременно приводимы или неприводимы.
Найдем, как связаны пары (10, /t) и (/0, ^)> определяющие два
неприводимых сопряженных представления g-+Tg и 7^_i.
202
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Заметим, что равенства Тп - Т. * х (/, k-1, 2, 3) означают,
Ы
что представления группы вращений, порождаемые в пространстве R
сопряженными представлениями g ->¦ Тд и ,у-ь совпадают. В частности, это
значит, что для неприводимых сопряженных представлений g -> Тд и g--их
наименьшие веса 10 и /0 равны (напомним, что /0-это наименьший из весов I
неприводимых представлений группы вращений, участвующих в неприводимом
представлении g->Tg собственной группы Лоренца).
Далее, из соотношений (22) и из формул (13) - (16) для инфи-нитезимальных
операторов F3,' F+, F_ неприводимого представления находим:
\
или (см. формулу (16))
/0'i = ¦ l0lL.
Так как 10 = 10, то, следовательно,
W - '-г
Итак, если представление g -> Тд неприводимо и определяется парой (10,
/х), то сопряженное к нему представление g--> также неприводимо и
определяется парой (10, -/х) или, что одно и то же, (-10, /х). Отсюда
следует, что неприводимое представление g^-Tg эквивалентно своему
сопряженному g -> Т^-\ тогда и только тогда, когда либо 10 = 0, либо /х =
0, т. е. одно из чисел пары (10, /х) равно нул:о.
Условимся всюду в дальнейшем неприводимое представление, сопряженное
представлению т, обозначать т.
Сопряженные неприводимые представления собственной группы Лоренца будут
нами использованы в следующем параграфе для построения неприводимых
представлений полной (общей) группы Лоренца.
Замечание. В дальнейшем мы будем называть сопряженным к представлению g-
o-Tg не только представление g-о-Т^-ь действующее в том же пространстве,
что и g^Tg, но и любое представление, эквивалентное представлению g->T^-
\.
7. Конечномерные представления собственной группы Лоренца. Здесь мы
еще раз укажем, какие пары (10, /х) определяют конечномерные
представления. Выше было замечено, что обращение Cia+n+1 в первый раз в
нуль, как это видно из формул (7), (8), (9), означает, что в неприводимом
