Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ai V{I 4~ m) (I - m 4-1) ;г> ! -
m = - l, - /4-1, . . ., I - 1, I; l = l0, l0-f-1, . . .
Здесь I
с
которое комплексное число, и формулы (3) и (3') задают,
П. 4] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
195
в неприводимом представлении, и может принимать, следовательно, только
целые или полуцелые значения, число же 1Х произвольно.
Ниже будет дан последовательный вывод формул (3'), но сначала, однако, мы
несколько подробнее ознакомимся с ними.
Заметим, что если вес I участвует в неприводимом представлении, то, как
видно из формул (3'). векторы из пространства Rt переводятся операторами
F+, FF3 в линейную комбинацию векторов из пространств Rt_v Rt и Ri+{, при
этом векторы из Ri^x входят в линейную комбинацию в том и только том
случае, если Сг ф 0; аналогично векторы из /?г + 1 участвуют в этой
линейкой комбинации тогда и только тогда, когда Сг+1 ф 0. В'частности,
векторы из пространства Rie переводятся операторами F3, F+, F__ лишь в
линейную комбинацию векторов из Ri_ и Ri,,+i (Cjo=0). Это вполне
согласуется с тем, что 10-наименьший из весов, участвующих в
представлении.
Таким образом, если подействовать операторами F3, F+, F_ на векторы из
пространства Ri:i, то мы переведем их в векторы, принадлежащие сумме
пространств Rj0 и Ri,+i', те же, в свою очередь, под действием операторов
F3, F+, F_ перейдут в векторы, принадлежащие сумме пространств R^ , Ria+u
Ria+2- Продолжая этот процесс дальше, мы построим конечную или
бесконечную цепочку пространств
RiaRi"+i Ria+2 ¦ ¦ ¦ (3")
Очевидно, что сумма всех входящих в эту цепочку пространств /?г
инвариантна относительно операторов Н3, Н+, Н_, F3, F + , F__ и,
следовательно, в силу неприводимости нашего представления, совпадает со
всем пространством R. Из самого построения цепочки (3") видно, что веса
I, участвующие в нашем представлении, пробегают подряд все значения
h "h 1 > 'о -f~ 2,
Это и указано в формуле (ЗЭ.
Заметим, что в случае, когда цепочка (Зл') бесконечна, представление
бесконечномерно. В случае, если цепочка обрывается на некотором
наибольшем весе I, представление конечномерно. Легко в последнем случае
указать, как наибольший вес / связан с числом 1{. Действительно, цепочка
может оборваться на весе 7, как мы говорили, лишь в случае, если С^+г-0.
Но так как
7>/0, то это возможно лишь прн (7 4-1)2-li - Q. Отсюда 7 = 1^1-1.
Последнее равенство возможно только в том случае, если С - целое или
полуцелое одновременно с /0 и [ j /0- Эт0 и есть условие того, что
неприводимое представление конечномерно. Ниже мы еще раз вернемся к этому
случаю.
196
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Итак, окончательно мы видим, что всякое неприводимое представление
собственной группы Лоренца определяется парой чисел (l0, /j), где 10 -
целое или полуцелое число, а 1г - произвольное комплексное число.
Инфинитезимальные операторы Н+, Н , Н3, F3, F+, F задаются при этом
формулами (3) и (30- Веса I, участвующие в этом представлении, пробегают
по одному разу все значения /0, /0+1> ... и т. д. При этом
представление
либо бесконечномерно и веса I меняются до бесконечности, либо
представление конечномерно и содержит наибольший вес 7. Последний случай
осуществляется тогда и только тогда, когда lt - целое или полуцелое-
число одновременно с /0 и \1х\^>10', при этом наибольший вес I равен
|/х|-1.
После этого предварительного описания перейдем к выводу формул (30-
Обратимся, прежде всего, к соотношениям коммутации между AiJc и Bi (IV-
XII). Заметим, что формулы (IV-XII) после замены обозначений В{*-Ag^ - Aj
(si=k=Fj) совпадают с формулами (5) § 9 части I, дающими соотношения
коммутации между матрицами А{ и матрицами инвариантных уравнений.
В § 9 был найден общий вид всех матриц Ц в базисе {?гт} (индекс т мы
опускаем в силу сделанного нами предположения, что каждый вес встречается
не больше одного раза).
Выпишем получающиеся выражения для операторов F+ = -z=iBx - В2, F
_=iBx~\- В2, F3 - iB3:
Fakm= di-г, i YF-U-i, m -
- dnmr4m- di+h , V(l + If - m* k,f!, m, (4)
F+km = di-x, iY(l - m)(l- m- 1)?i_i, m+i -
- du'Vi.l - m) m+1 ~b
i У 1) (/ H /n -|- 2) ^г+i, m+u (5)
F_hm~ - di-\t i Y(Im) (I-\-m- 1) ?z_i, m-\ -
- du 1^(!• Л~m)(l - m-(- 1)m_i -
- di+1, i - - ki+i, (6)
(мы несколько изменили обозначения § 9 части I, положив di,i = - ici, г,
di+iti~ - ici+x,i).
Заметим, что в выборе чисел dj_i, г dit i di+1, i есть произвол,
зависящий от произвола в нормировке базиса {?гт}. Действительно, если в
каждом из подпространств /?г одинаково растянуть все векторы базиса, т.
е. положить
^lm == h (0 \lm'
П. 4] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 1
97
где h(l)-некоторые числа, то при этом вид операторов Н+, Н_, Н3 в новом
базисе не изменится, поскольку они действуют независимо в каждом Rv Числа
же di-\, i, di, i, dt+\, г при такой замене базиса перейдут, как нетрудно
видеть, в
т. е. произведение z Д;, г-i сохраняется. Выбором соответствующего
множителя h(l) числа d't_x г и й' г можно сделать равными*). Будем
