Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
ср -"• 0 ?
BJ == lim (г= 1, 2, 3).
ср -> О Т
Операторы Лгй, fij и их линейные комбинации называются ии;ра-
нитезимальными операторами представления g -*¦ Операторы Лг7.
и Вг отвечают бесконечно малым поворотам соответственно в плоскостях (jq,
хк) (обычный поворот) и (xt, х0) (гиперболический поворот). Три из этих
операторов: А12, А13, А23, соответствующие лишь трехмерным вращениям,
рассматривались в § 2 части 1 **). Там же были установлены соотношения
коммутации между ними:
[И12, 2113] - ¦ Л23, [А1г, А23] - А13, [Н)3, Л23] == ^12 (I
III)
Остальные соотношения коммутации таковы ***);
{Л12, В,] = Вг, [Л13, В,] = - В3, [Л23, St] = 0, j
[Л12, В2] - Bv [А13, о2] = О, [П23, В2] = В3, [(IV-XI!)
И12,В3] = 0, [Л.3, B3\ = BV [Л23, В3] = - В2, \
[Ви В.г] = - Л12, [81у В3] = Л13, [В2, В3\ = - Л23.
(XIII-XV)
*) Совокупность векторов /, для которых существуют названные пределы,
образует з R линейное, всюду плотное подпространство R'. Доказательство
того, что R' всюду плотно в R, содержится по существу в
добавлении к § 2 части I (при этом для конечномерного R R'
совпадает с R).
**) Эти операторы в части I обозначались Ах, Л2, Л8,
Ах - А33> А2 = А13, А3 = Д12.
***) Они получаются в точности тем же способом, что и предыдущие (см.
часть I, § 2).
П. 4] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
193
Для удобства введем вместо операторов Aik и их комбинации H+=iA2 з А13, Н
_ = iA23 -f- А13, H3~iAl2,
+ =iBl - B2, F_ - 1Вх-\- В2, F3 = iB3. J Легко получить соотношения
коммутации между этими операторами: [Н+, Н3] = -Н+, [H_,Ht]=H_,
[Н+,Н_] = 2Н3; (Г-ИГ)
[F+,H+] = [H_, F_] = [H3, F3] = 0, )
[Н+, F3] = - F3, [H_, F3\ = F_, I
W+, F_] = -[Ff_,F+] = 2F3, f
[F + ,H3) = -F+, [FH3] = Fj
(IV'-XII')
[Л+, F3] = H+, [F_, F3] = - [F+, FJ = -2H3. '(XIII'-XV')
В заключение заметим, что если в пространстве R есть подпространство R',
инвариантное относительно представления g-> Тд, то оно инвариантно и
относительно всех инфинитезимальных операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, и
наоборот, подпространство R, инвариантное относительно инфинитезимальных
операторов, инвариантно и относительно самого представления g -> Тд.
Отсюда, в частности, следует, что представление g -+Тд неприводимо тогда
и только тогда, когда пространство R, в котором оно действует,
неприводимо относительно его инфинитезимальных операторов (т. е. в R нет
подпространства, инвариантного относительно всех операторов Н+, Н_, Н3,
F+, F_, F3). Этим замечанием мы будем постоянно пользоваться в
дальнейшем.
4. Вид инфинитезимальных операторов для неприводимых представлений
собственной группы Лоренца. В этом пункте мы найдем общий вид операторов
Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 для неприводимого представления собственной группы
Лоренца.
Заметим, что всякое представление собственной группы Лоренца g-+Tg,
действующее в пространстве R, порождает тем самым некоторое представление
своей подгруппы - группы вращений. Это представление получается, если
ограничиться только теми операторами Тд>, которые соответствуют
трехмерным вращениям g'. При этом в пространстве R представление g'->Tgr,
вообще говоря, приводимо. Но, как было показано в § 2 части I, R можно
разложить в прямую сумму инвариантных подпространств Rlt в каждом из
которых представление группы вращений, индуцированное представлением g' -
> Тдг, неприводимо и задается весом I. Мы будем предполагать, что в
случае, когда представление собственной группы Лоренца g-*Tg неприводимо,
в этом разложении пространства R не встречается двух
194
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. П
подпространств Rt с одинаковым весом *). В связи с этим будем нумеровать
эти подпространства индексом I.
В каждом подпространстве Rt мы выберем канонический базис 11т (т. е.
базис из собственных векторов оператора Н3). Векторы {;tol} образуют,
очевидно, базис во всем пространстве R. Этот базис мы будем называть
каноническим базисом в пространстве R.
Операто! ы Н+, Н_, Н3 (инфинитезимальыые операторы представления группы
вращений) записываются в этом базисе следующим образом (см. часть I, § 2,
(18)):
таким образом, вид инфинитезимальных операторов неприводимого
представления собственной группы Лоренца. Как видно из этих формул,
каждое такое представление однозначно определяется парой чисел /0 и
первое из них, 10, является наименьшим весом, участвующим **)
*) Это предположение не является произвольным. Можно доказать, что для
неприводимых как конечномерных, так и бесконечномерных представлений оно
действительно всегда выполняется.
**) Мы скажем, что вес L участвует в представлении собственной группы g -
*-Тд, если в представлении группы вращений, порожденном представлением g-
*-Ty, встречается неприводимая компонента с весом I.
H-'-lm - V(I 4~ !п) (¦' - m 4" О Л, m
> :-1. пг-1>
(3)
Н V(I 4" m 4~ О ('-- ГП) пг +1
m = - i, -1+ 1 г 1 , /.
Выпишем теперь операторы F3, F+, F_ в базисе
0+4(tm)- О"{/"(/ tn) (L ill l)'l -l,m+l
А-i VУ - и) Q 4~ m 4" 1) П, m+1 4~
