Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
четырехмерного пространства. При этом двум диаметрально противоположным
точкам сферы отвечает одно и то же вращение.
5. Определение представлений группы вращений. В этом пункте будут даны
основные определения, используемые дальше. Мы будем говорить,' что нам
задано конечномерное представление g-> Тд группы, если каждому элементу g
группы отвечает линейное преобразование Тд в некотором линейном
пространстве R *) так, что при этом произведению элементов группы
отвечает произведение преобразований и единице группы е - единичное
преобразование, т. е,
(25)
и
Тв = Е. (26)
Так как в конечномерном пространстве каждое линейное преобразование можно
задать матрицей, то конечномерные представления можно также определить,
ставя в соответствие каждому элементу g матрицу Тд так, что при этом
выполнены соотношения (25) и (26).
Представление g ->Тд группы вращений называется непрерывным, если
элементы матрицы Тд зависят от g непрерывно. В дальнейшем мы будем
рассматривать только непрерывные представления. Тривиальным примером
представления группы является соответствие, при
*) Элементы пространства R мы .будем в дальнейшем называть также
величинами, преобразующимися при представлении g -г- Тд.
20
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
котором каждому элементу отвечает единичная матрица. Такое представление
группы вращений называется единичным. Другим примером представления
группы вращений является так называемое основное представление группы.
Оно состоит в том, что каждому вращению g ставится в соответствие его
матрица в каком-нибудь базисе.
Подпространство Rt пространства R (в котором действуют линейные
преобразования Т) называется инвариантным относительно представления
g~^Tg, если Rt инвариантно относительно всех преобразований Тд.
Если в пространстве R не существует подпространств *), инвариантных
относительно представления g-> Т , то представление называется
неприводимым. Мы увидим несколько позже, что изучение любого
представления группы вращений сводится к изучению неприводимых
представлений. Эти последние будут классифицированы в § 2, а сами матрицы
Тд неприводимых представлений будут выписаны в § 7. Различные реализации
представлений группы вращений (т. е. различные реализации пространства R
и преобразований Тд) будут изучены в §§ 3, 5, б, 8.
Представление g->Tg называется унитарным, если в комплексном пространстве
R определено скалярное произведение и все преобразования Тд унитарны
относительно этого скалярного произведения. Докажем, что каждое
представление группы вращений можно считать унитарным, т. е. можно так
ввести скалярное произведение, что Тд будут унитарными линейными
преобразованиями. Для этого рассмотрим в R какое-либо скалярное
произведение (?, tj), где г) - элементы из R. Вообще говоря, Тд не будут
унитарными относительно этого скалярного произведения, т. е. (Тд?, Тдц)
может быть отлично от (?, -г]). "Усредним" функцию {Тд1, Тдт\) по группе,
т. е. рассмотрим выражение
/ W Tg^dg,
где под интегрированием понимается инвариантное интегрирование,
определенное в п. 3.
Зададим теперь новое скалярное произведение формулой
(S. 4)i = / TgiOdg.
Покажем, что (5, т)Х обладает всеми свойствами скалярного произведения.
Действительно,
(Si + ^2. n)i = j (^(^1 + ^2). Гдт\)dg -
= f (ТдЬ, ТдТ,) dg + f (7^2, Тд-п) dg = ft, TiX + (?2, TJX.
*) Исключая, конечно, все пространство R и нулевое подпространство,
являющиеся формально инвариантными подпространствами при любом
представлении.
П. 5] § 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 2 1
Аналогично показывается, что (?, т))! = (•"), !)i и что (Х?, т))1 = Х(?,
tj)!. Далее, (?, \\ = J (Tgt, Tg\)dg> 0, так как (7^, Тд%)> 0, если ^0.
Покажем, что относительно скалярного произведения (?, -ц) преобразования
Тд унитарны, т. е. что (Тд?, Tgj\\ = (?, т\\. Пусть Тд? = \' и ТдЛ = г(,
(Тди1 7^ = (S', V)!- / i.TgV, Tgrl')dg =
= J(T3T^> TgTg^dg^ f (Тдд1, Tggtfdg.
Далее, в силу инвариантности интегрирования ^равенства J* f(gg0)dg - =
/f(g)dgSj имеем:
j (Tggi, Тддат\) dg = j" (Tgk, Tg7]) dg= (с, 7]) j,
и, значит, окончательно
(^VJ> ^'gordi ~ (^> "^)i*
Итак, мы показали, что относительно скалярного произведения (?, 7))t
представление g-+ Тд унитарно.
Изучение унитарных представлений группы можно свести к изучению
неприводимых унитарных представлений. Действительно, рассмотрим унитарное
представление g-+ Тд. Если в R не существует инвариантных подпространств,
то представление неприводимо. Если же в R имеется инвариантное
подпространство Rv то совокупность векторов, ортогональных ко всем
векторам Ru образует также инвариантное подпространство. Все пространство
R разлагается таким образом в прямую сумму двух взаимно ортогональных
подпространств Rt и R2. Если в Rx или в R2 представление приводимо, то мы
проводим разложение дальше, пока мы не придем к неприводимым
представлениям.
До сих пор мы рассматривали конечномерные представления группы вращений.
Однако уже в первой части этой книги мы встретимся (например, в § 3, п.
