Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(U!g)~l).
Это обстоятельство можно обнаружить с помощью тех же рас-суждений, что и
в случае у.Ф0. При этом мы видим, что в нашем случае у. - 0 представления
Vg и Тд никак друг с другом не связаны, в то время как при у.=^0 они
должны совпадать.
Найдем теперь общий вид матриц Lv L2, Lz в инвариантном уравнении вида
(28).
Заметим, что вектор ф из пространства R, в котором действует
представление §¦-> Тд, переводится матрицей Lk (k- 1, 2, 3) в вектор z из
пространства R, где действует представление g-+ Тд. Запишем, таким
образом,
или
V gl'liTg gift Lit
Vg^Tg^^gftiLi,
VgLkTgl =2 guU
(30)
Пусть ojm - канонический базис представления g-+Tg в пространстве R, a
zim - канонический базис представления g->Tg
152 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
в пространстве R; при этом 1)г,_ОТ'= &", канонический базис
представления g~+Tg.
Условимся теперь вектор ? относить к базису а}т, а вектор ф - к базису
с]т. Равенство (30) при этом перепишется:
х.
1т
- 'V Г"' W vT'
где xfm - координаты ; в базисе {^ш|, а -координаты ф в базисе {Ц'т'}-
Числа Сйп/'т' и образуют элементы матрицы Lk,
Lk = \\cf <*>, II.
л j| Iml т' i|
При таком определении каждой матрице Lk может быть отнесен вектор hk из
произведения пространства R X R на самое себя так:
L. ~ /г, = V. с)-',, , = УсГ'" Ч?,'
* & ^ Iml т lm I'm' Iml'm lm 4 , - in'
Отсюда видно, что отыскание матриц Llt L2, L3 (или, что то же
самое, L0, L+, L_) сводится к написанию базиса в трехмерном
подпространстве из R X R> неприводимом относительно представления ~д-
Тду(. Тд через векторы {ашЦу, -т'}- Эту задачу мы уже решили в предыдущем
пункте. Если воспользоваться результатами этого
пункта, то мы получим, что элементы матриц Lv L2, L3 - числа
сТтI'm' 3) задаются формулами (8), (11), (12) из п. 3.
§ 10. Разложение произведения двух представлений. Коэффициенты Клебша -
Гордона
1. Вычисление коэффициентов Клебша - Гордона. В п. 3 § 4
мы выяснили, на какие представления разлагается произведение двух
неприводимых представлений группы вращений. Здесь мы фактически
произведем это разложение, т. е. выразим векторы канонических базисов в
каждом из неприводимых подпространств, на которые разлагается
пространство Rx X через векторы emjmi.
Пусть [glmj - ортонормированный канонический базис в подпространстве
RiciR1 X R2, в котором действует неприводимое представление веса I (|/t -
121 ^ I Zi -р-12).
Напишем glm в виде линейной комбинации векторов вида е f \
§ т==^,J ^т, яц+тз^/ци,; iama6 "!,/(%• (1)
Наша задача состоит в определении коэффициентов 5г,то,;/2та. назы-
ваемых коэффициентами Клебша - Гордона.
Их вычисление мы проведем в несколько этапов.
I. Растянем векторы канонического базиса {ет,} в пространстве Ru т. е.
перейдем к векторам
г"'=¦&*", (2)
п. 1] § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 153
так, чтобы в новом базисе {?'"'} операторы Н+ и Н_ имели бы вид
Н+?т' - (Zj-ml)zmi+1, 1 *
H_zm^(k + m^^-1. J ^
(Оператор H3 действует, очевидно, по-прежнему: H3z'Ul - rn1zm'-)
Заметим, что при таком выборе операторов Н+, Н_, Нг выполняются
соотношения коммутации (11) § 2. Это означает, что указанную замену
базиса действительно можно произвести.
Найдем коэффициенты растяжения ^ . Имеем:
НАт'+1 = {к + Щ+ 1)^ = (к + Щ+ 1) .
С другой стороны,
тт Zj ТТ /
*1 - z == 7"i+l" -Фт, + \ === 7mi + ia,ni + ! w,i'
Отсюда получается система равенств
7"i; + !a""i + l - (А + т1 Ч- 1) Тте Из нее мы получаем:
6 г, ат1 + 1 ' ат,--2 ¦ • ¦ Л,
7 - 76 (h + щ + 1) (/l + щ + 2) ... 2к ¦
Подставляя значения ag из (17) § 2 и полагая к-*1 = 1, окончательно-
получим:
.л, _ 1 Г(к + тт)\ (1х-тх)\ кщ-у Щ)\ •
Аналогичную замену базиса мы произведем и в пространстве R2, положив:
7= т/ . (5)
II. В пространстве Rp где действует неприводимое представление веса I
наряду с ортонормированным каноническим базисом {g^j, рассмотрим базис
{х*}, который строится следующим образом:
Хо = ёг> х\=Н_х\, х\ = Н _х\ = Н2_х\ x\ = Hs_x\. (6)
Очевидно, что
X\ = amSm (nt = l - S). (7)
Найдем коэффициенты ат:
Н хг , = х1 = a1 gl .
- в-1 а т° т
С другой стороны,
^ = °m + XH-glm + l = °в-Ли+1'
154 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Отсюда получается система равенств
1 г
ИЛИ
alm = aliam + Л,г + 2 • ' • ЯГ
Подставляя as из (17) § 2 и полагая а| = 1, получим:
°"-y -(7+^yr- (8)
III. Итак, вместо ортонормированных базисов {ет1} и {fm,} в
пространствах Rt и R-2 мы выбрали базисы {Х'1} и {у}(tm)2), а вместо базиса
|^| в /?г - базис {л'Ч. Оказывается, что векторы х13 просто выражаются
через векторы imnfn2.
Пусть / = -j- /2 - а [О-^а^тах 2/а)]-
Запишем вектор Хо''1*~л следующим образом:
к -. а
Z,-r?2-a "VI а 1.1.-к 12 - <х + к
Хо = 2лаЪ' V •
к = О
Найдем коэффициенты ак. Очевидно, что
H+Xq,+1,~' = 0. 4
С другой стороны, из формул (3) получаем:
Н+ (2 a\Y =
= 24 V'_" f-|- (a - k)
Отсюда
flya -|- = 0,
a! (a - 1) -|- 2a" = 0,
ак (я - ft) {k -ф- 1) uk+1 - 0.
Из этих равенств находим:
а а у ч \ ~кs>,k
