Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 51

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 132 >> Следующая

138 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ (Ч. Г
Подставляя эти произведения в систему (14), преобразуем ее к
окончательному виду
_2_Л Л_±, Ji_L./ *1_>
г sin ft 1 д<? г 2 д$ ' 3 дг '
ф "Ь - 0. (15)
Мы проделали с величиной ф в каждой точке то преобразование, которое
предшествовало в § 8 инвариантному относительно вращений разложению этой
величины по обобщенным сферическим функциям.
Разложив теперь каждую компоненту §т величины ф в ряд по обобщенным
сферическим функциям, мы можем в силу инвариантности системы
рассчитывать, что ей будут удовлетворять отдельные слагаемые ряда. А это,
как мы убедимся ниже, приведет к разделению переменных, т. е. сведет нашу
систему к системе обыкновенных уравнений. Чтобы проделать соответствующие
вычисления, запишем систему (15) в компонентах. Предварительно вычислим
матрицу D = L,At Полагая
m == , т'
V, т', V
и пользуясь формулами (8), (11) и (12), а также выражениями + и А2 из §
2, мы найдем, что
di-i, г, mm - cl-1, г(1- 1) ]//2 - тг, dll, mm == Cll М,
dl'+l, l,mm = - с!+1,1 11/(7+ I)2 - т2
(16)
и остальные равны нулю. Система (15) в компонентах <\>jr
имеет вид
1 v 1 V
aU',mm' * r Dll',mm'
' mr
Г sin у d<t Г "и.тт-
V, m\ V V t m', x'
i -ix' 0Tl'm' I * +:x' , x'
JJj в11',тт'У1гтг
l'у m', if I', m ',x'
- yctgb ^ от,агг',тт'фг'т' + *фгя1 = 0 *), (17)
Г, w', x'
*) Следует учесть, что так как при воздействии матриц Z,* на векторы Щт
суммирование производилось по первым индексам каждой пары, то при
преобразовании функций Ц\т надо суммировать по вторым индексам-
П. 4] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 139
где коэффициенты аЦ, тт', bui тт', c}i',mm>, du': mm< определены
формулами (8), (11), (12) и (16) этого параграфа. При этом в 1-й, 2-й и
5-й суммах отличны от нуля по шесть слагаемых, а в 3-й и 4-й - по три.
Чтобы разделить переменные, положим теперь
§т=/ЬпЛг)Т%п(ъ-Ъ °)*
где /0^/, а -n^.l0, и подставим в систему (17) эти произведения. Тогда
окажется, что 7"-i,n и 7^+1, п, которые войдут в 1-ю, 2-ю и 5-ю суммы,
можно будет по рекуррентным формулам выразить через 7^", и после этого
каждое уравнение сократится на Т^п и в нем останутся только функции от г.
В самом деле, произведем подстановку значений коэффициентов
А А
Gll',mm't Dll', mm'I Сц' , mm' >
и соберем вместе члены с одними и теми же функциями от г. Мы получим
тогда систему
2^-ij
~\f (I2 - m2)
I - 1 j m, t'
dr
(/ - i) V (i2
?> ", o)-
' "2~f V(J- ~f" m - 1) Ч- m)/i-1, m-1, x'
01 m-1, n
atI о
01 m-l, i
(m - 1) cos ¦
sin ft
m - 1, i
дт:
•Iq
m+lt n
1) (/ tri)fi-i, n+i, t'
(m -j- 1) cos
sin ft d<f
1 UI m+1, n sin ft d f
dft
sm i
'J'lo
m+1, n
i xx' /
"Ии )
m
df\
•lo
Imi'
dr
m г
~ firnv
", o) +
~~\r V(^ m) 0- - m H- tyfhm-l, V X
140 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
1
X
sin 11 df
(3"
(т- 1) cos 0 j
~ Т'т -1, п
Sin '
2 г
X
I хг
+ С1,
-\-т -+- 1) (I -- т)/г" т+\, т' X
1 дТт~1,п , дТт-\,п , (m+l) COS" ,
I т+1, и
sin
г+i !
<3-f
]/(/-+ l)2- m2
d" 1 dfhl.m,-
dr
sin &
t
, lYil + lf-m* a
"Г- у г1, w, x'
Т'т, n (~2 -?> ^>0)4"
"H'gp'V"- m-f-2) (/- m-\- l)/z+i, m-\, v X
Г ^w_i,n d7TO_b" (/71-1)003" , -j
L sin" df <3" sin" та-i. nj i"
~h ~2f VV ~\~m +¦ 2) {I + in + 1 )f i+i, m+i, z' X
X
1 dTm + \,n , dTm+l.Ti , (m+ 1)C0S" ^
sin О <3^
<30
Sin i
774 +1, П
В каждое уравнение полученной системы входят три обобщенные сферические
функции Ттп. Т'т-1,7! и Тт+\,П' Однако к квадратным скобкам, содержащим
Тт+\,п и Тт-\,п> можно применить рекуррентные формулы (см.
дополнение к § 7), по которым эти скобки
также выразятся через ТтП.
В самом деле, вспоминая, что Т]± , "(7--ср, ft, 0) -
m - itn\2 " j
дТ
что, следовательно,
m ± 1, п
= itl Т.
m ±1, п*
мы можем переписать соответствующие квадратные скобки в du"
виде е
in (у-?) / ""ттг-I, п
п - (т - 1) cos "
!------------^------um-hnj и аналогично
in (?_,)/ dum+hn п - (т+ l)cosft \
V 1Г 1------------sin"------"m+i, я)- Но согласно фор-
мулам (2) добавления к § 7 первая из этих скобок должна быть равна -
iV(lo~\~m)Y-m-j-l) J'mn, а вторая скобка соответственно равна -г j/(/0 -
)- т -)- 1) (/0 - т.) и'тп-
П. 5] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 141
Произведя замену и обозначив снова е*" (з-9) иг^пф) через ТтП, мы можем
сократить все уравнение на - ср, &, 0^. В резуль-
тате получится система, содержащая только f\'mz{r), а именно:
V Fi--------ПЪ------Гч ^-1, от, х' (1~ 1)У(12 - пт) г
2лс1.1-1 [у с2-*у>-Гг----------------------?------
¦х'
27 У^С + П1 - 1) С Ч- m) У^Со Ч~ m) Co - m ~\~ l)/z°-i, m-1, x' -
- ГГ У^С- m - У V - m) У^Со ~b m 4~ 0 Co - m)fi~l, OT+i, x'J +
Сгг m¦ -dr1-^ +
"Ь туг У С ~b >n) С - m -f- 1) V Со 4" m) Co - ТП-\- 1) jl, m -1, V (0 -
2r
27 С 4~ m ~f~ У С m) У^СоЧ- m A У Co m)f l, m +1, x'
T-- Г /¦-------df]\ , /Vcz + l)2 - m2 J
~ЬсСг +1 У С4~У2-mi --------1 j. fi°+i,m,z' (/)+
+ ~2f VС- 2) (I - tn -1- 1) y^(l0-{-m) Co-'>n~\~^)fl + 1, m-l, X' (r) +
~b'27 ^ С Jr>'i 2) 1) У^СоЧ- mk~ У (/о-m)f i+1, m+i, xj -b
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed