Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 49

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 132 >> Следующая

возможное значение т0 = = min (/', Г), мы получим уравнение, содержащее
два неизвестных Ст0 и ст0_ь из которых ст^\ определяется через ст>. Давая
теперь т значение т0-1, мы получим уравнение, связывающее ст-2, ст,-ь
сти> из которого мы сможем определить сТОо_2 снова через ст..
*) Так как --/<" </ и c],]t т<т=?0 лишь при/я' = т, то т меняется от -
min (/', /) до min (Г, I). Заметим, кстати, что когда т. принимает
наибольшее допустимое значение т0, можно формально воспользоваться
уравнением, так как коэффициент при ",о+1 равен нулю.
132 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Продолжая этот процесс, мы дойдем до наименьшего возможного значения т,
при котором уравнение снова будет содержать только два неизвестных-с
минимальным значением т и со значением, на единицу большим. Так как оба
эти неизвестных уже определены предыдущими уравнениями, то это
соотношение либо будет следствием предыдущих, либо из него будет
следовать, что сто, а значит, и все неизвестные равны нулю. Эти
вычисления показывают, что срг могут быть отличны от нуля, только когда
11'--7]^ 1, т. е. при l' - l, l' = l-1 и V - / -(- 1. Мы найдем ср| т для
этих случаев указанным способом. Доказательство того, что с]',] для
остальных значений Г равны нулю, проводится совершенно аналогично, и мы
оставляем его читателю.
Примем сначала l' - l, т' и т произвольны. Тогда уравнения (7) принимают
вид
[ 2 _ (I -j- т + 1) (I - т) - (I + т) (I - т + 1) ] с?т +
+ (I + т) (I - т + 1) с^т _ , -1- (I + т -f 1) (I - т) с?т+1 = 0.
Полагая т = 1, найдем, что (1-I) с~;^г -\-1с^' ,= 0, откуда
cff, = ¦ I; = cx^x(l-1), где -произвольная, не зави-
сящая or т постоянная. Полагая m = l-1, аналогично найдем, что с]]'1_2 =
е]'Д/- 2). Подстановкой легко убедиться, что найденная закономерность
является общей, т. е. что для любого т
с"л"=cti ¦т-
Положим теперь l' - l-1. Уравнения (7) принимают вид [2 - (7 -)- tn -j-
1) {I - tn) - (l-\-tn 1) (I /д)] CjJj' it m~f-
V(^ m - 0 (У - ni) (г< 4~ m) О- -tn Ч- О ci-i, i, m-i 4~
-(- ~\f (I -|-tn) (t - tn 1) (I-j-tn -f- 1) (/ - m) ci-i, i, OT+i =
0.
Сделаем в этих уравнениях подстановку
Cl-1, l, т - Cl-1, l, m) (/ - m).
После этой подстановки и сокращения т-го уравнения на
У(1--tn) мы получаем систему
2 [ 1 - /2 + т2] c]i\ i, т + V2 - (" - I)2] c?-i, г, "-i +
-И*2 - 0w + l)*] c]L\i,m+1 = 0. Легко проверить, что эта система
удовлетворяется при с]\ г, т,
П. 3] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 133
не зависящем от т. Положим поэтому cYi.i, т -ci-i, v Отсюда, возвращаясь
к старым неизвестным, находим:
cl-1, г, т = с]1г, гУР- т2.
Положим, наконец, /' = /-(-1. В получившихся уравнениях [2 -(Z +
m+i)(/_m)_(j-f-m-f-l)(/_,K + 2)] c?li?>m +
Ч- У {I Ч- т Ч~~ 1) (У - т-\-2) (I т)(1 - т-\- l)ci + \, г, т-i -Ч -\~У
(У Ч~ т Ч- 2) (У- п~\- 1) (/ Ч~ tn Ч~ 1) (' - т) сг+1, z, m+i =
сделаем подстановку
cz+i, г, т = У (У Ч~111Ч- О (У- теЧ~ 1)сг+1, г, т-
После этой подстановки и сокращения на У(1-\-т-{- 1)<У - мы придем к
уравнению
2 [т2 - Р - 2.-] с i + i, г, т Ч~ U2 - т2 Ч- 2/Ч~ 2m j с i +1, г, m_i -)-
-f [I2 - m2 4-2/ - 2 m j c]+i, i, m+1 = 0,
решением которого также является не зависящая от т постоянная. Обозначим
ее cj'4 г
Таким образом, мы нашли следующие значения элементов cJ,J матрицы L3:
с}\ i,m= Cl-1,1 У Р т2,
Cn'm=chzm, ¦ (8)
сг+1, г, ш = с]+1, i У (l-\- I)2-- гп2. .
Определим теперь матрицы Ll и L2. Обозначим элементы матрицы Lt через
а?,1 , т. е. положим:
V L) 1(1 771
il%1т- 2 ai'l, (9)
V, т', х'
Чтобы найти ах',х т,т, воспользуемся тем, что Lx = [Л2> ^-зЬ и подставим
вместо Аг и Z-з известные матрицы. Мы получим тогда:
il'Zm == 42/.3Цш LSA2
~ S Cl'l,m'mYm' 2" ^3 (а"г m -1 aL+l4m+l-^~
Г, ш',т'
- V rt'i (a}' ?*' _______________________a1' Iх' 1 -
2 Ai Vl.m'm' nV m' + l 4', m' + lJ
I, m', t'
_L nl ^ rx'x hx' 4-- a1 V cx'z
2 m l'l, m, m-ll'm' 2 m+1 VI, +
V, m' t Z'. m', t'
134 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Разбивая первую сумму на две и изменяя соответственно индекс суммирования
в каждой из получившихся сумм, мы можем записать наш результат таким
образом:
^1т- 2 S ("т'+1СГ
V, т', х'
. . гЛ' ft t I, mr +1> m m' Г1,т'~1, m
{Л "1 x |_. гЛ с* ^ ^
m ГХ, m', m - 1 " /гс+1 Г?, mr, m + l* lrn
Следовательно, элементы матрицы Ll имеют вид
47, т'т - I-("L' + l 47, m'+1, m °m' 47, m'-l,
+ аг
- сЛ ftt m Ll'l,
С
'tn+1 Г/, w'# m+1
). (10)
Так как c]'j т,тФ(r)> лишь еслн m'= m, аГ - I-1, /, /-|- 1, то при
фиксированных /и, /, t' и t окажется шесть чисел й?,'
VI, го'то'
отличных
от нуля, а именно, й]Д т_Ьт, 44,г,т-1,т' 44,r,m+i,m'
a
a1 T
m+1, m* f+1, f, m+1. m
Подставляя в формулу (10)
- -от+ 1) и 4 г'т из формулы (8), мы найдем следую-
щие значения этих коэффициентов:
44,1. "-1. " = - Vil + m){l + m-\),
+ ")(/- m+1),
44, ь = /(/-"+i)(/-"+2);
а
I
I-l, I, т+1, т
У (I - т){1 - т. - 1),
я' ^
"г, г, т+1, т
а,
1+1, г, т+1, т
2 4" т + 1) if- - т)<
= - -^-/(7 + /п+1)(7 + /я + 2).
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed