Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
2 gikgil - ^kl> (4)
i-1
где под символом Ьы понимается число, равное 1, если k - U и равное 0,
если k=h I. Равенство (4) можно записать в матричной
форме. А именно, в правой части равенства стоят элементы
единич-
ной матрицы е, слева же-элементы произведения g'g матрицы g',
транспонированной к g, на саму матрицу g, т. е.
g'g=e (5)
ИЛИ
g' = g~1> (50
Матрицы, удовлетворяющие равенству (5), называются ортогональными
матрицами. Если взять детерминант обеих частей равенства (5), то мы
получим Det (g') • Det (g) = 1, т. e. [Det(g')]2=l и, значит,
Det(?) = ±l. * (6)
Всякое вращение есть вращение вокруг некоторой оси на угол ср. Если
выбрать ось вращения за ось г, то матрица этого вращения будеть иметь вид
cos 9 - sin 9 0
sin 9 cos 9 0
0 0 1
Так как детерминат матрицы (7) равен 1, то для вращений Det(g)= 1.
Ортогональные преобразования, для которых Det(gr) = -1, называются
несобственными ортогональными преобразованиями. Примером несобственного
ортогонального преобразования является отражение относительно начала
координат, матрица которого имеет вид
- 1 0 0
g- = 0 - 1 0
0 0 - 1
Если g - какое-нибудь несобственное ортогональное преобразование, т. е.
Det(g') =-1, то gg_ есть преобразование, для которого Det (gg_) = Det (g)
• Det (g_)= 1 и, значит, gg_ есть вращение, л g-iggj)g_ - произведение
вращения на отражение относительно начала.
2. Введение параметров в группу вращений. Для дальнейшего нам
понадобится несколько способов задавать вращение параметрами.
П. 2] § 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
11
У
Так как каждое вращение есть вращение вокруг некоторой оси, то мы
полностью определим его, задав ось вращения и угол поворота вокруг нее.
Мы часто будем задавать вращение вектором % = (^, ?2, ?3), направленным
вдоль оси вращения и равным по величине углу поворота. Направление
вектора будем выбирать так, чтобы, если смотреть из его конца, угол
поворота не превосходил тт. Таким образом, координаты векторов,
описывающих всевозможные вращения, будут удовлетворять условию II -)- ii
и, значит, заполнять шар
радиуса тт. Ясно, что различные внутренние точки шара описывают различные
вращения, а две диаметрально противоположные точки на поверхности сферы -
одно и то же вращение на угол тг (так как поворот на угол я в двух
противоположных направлениях приводит к одному и тому же результату).
Указанный способ описания вращений выявляет топологическую структуру
группы вращений, а именно, эта группа топологически эквивалентна шару, у
которого отождествлены диаметрально противоположные точки границы.
Важным видом параметров в группе вращений являются так называемые углы
Эйлера. Пусть координатные оси Ох, Оу и Oz перейдут в результате вращения
g в прямые Ох', О у' и Oz'. Обозначим через (L) прямую, по которой
пересекаются плоскости хОу
и х'Оу', через <pt - угол Ох и (L), через с?2- Угол Ш и Ох'
и
через 6 - угол между положительными направлениями осей Oz и Oz'.
Очевидно, что вращение g может быть представлено как произведение трех
последовательных вращений; а именно: вращения g9i в положительном
направлении на угол срх вокруг оси Oz, в результате которого ось Од:
совпадет с прямой (L), затем вращения g,, на угол 6 вокруг Ох (после
которого ось Oz перейдет в ось Oz') и, наконец, вращения gъ на угол <р3
вокруг оси Oz':
g(Vu е> Чд-ёъёьёъ- (8)
Найдем элементы gi!c матрицы вращения g{<?i, 6, <р2), задаваемого
углами Эйлера срх, 0, <р2. Матрицы поворотов осей Oz, Ox, Oz' имеют вид
g" gVl вокруг
COS 9! - Sin <ft 0 1 0 0
ёъ = Sin <f! cos 0 ; ?-0 = 0 cos 0 - sin 0 |
0 0 1 0 sin 0 cos 0 I
-
cos ?2 sin tp2 О
- sin <f2 0 cos <f 2 0 0 1
12
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
При последовательном выполнении вращений их матрицы перемножаются в
обратном порядке, поэтому
0. =
При этом углы срх и ср2 могут изменяться от 0 до 2тс, а угол 6 -от О до
т. Различным тройкам чисел, изменяющимся в этих пределах, соответствуют
различные вращения, кроме случая 0=0 или 0 = тг. При 0 = 0 вращение есть
поворот вокруг Oz на угол срг -{- cf2, а при 6 = тт-на угол срх-ср2, так
что в этих случаях различным парам <рх и ср2 может отвечать одно и то же
вращение.
Рассмотрим вращение g(^lt 6, <р2). Его матрица задается формулой (9).
Проверим, что обратное преобразование задается углами тт-ф2, 0, тг-срх.
Действительно, если в матрицу (9) подставить чг-ср2 вместо <рх и тс-(r)х
вместо (r)2, то она заменится транспонированной, а мы знаем (формула (5)),
что обратная к ортогональной матрице совпадает с транспонированной. Итак,
если вращение g задается углами срх, 0, <р2> то вращение g~l задается
углами
77 ?2> 0> 71 ?1-
3. Инвариантное интегрирование. При исследовании функций от элемента
группы G (т. е. функций от срх, 0, ср2) нам придется рассматривать
интегралы от этих функций по группе (т. е. по всем допустимым значениям
срх, 0, ср2; 0 ^ срх < 2тг, 0 ^ (р2 < 2тт).
Наиболее приспособленным для теории представлений является так называемое
