Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 3

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 132 >> Следующая

Дополнения 355
Библиография 369
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена изучению представлений группы вращений
трехмерного пространства и группы Лоренца. У читателя предполагается лишь
знакомство с основами линейной алгебры, например, в объеме первых двух
глав книги И. М. Гельфанда "Лекции по линейной алгебре".
Теория представлений, в частности представления трехмерной группы
вращений и группы Лоренца, широко используется в квантовой механике. В
этой книге собран тот основной, на наш взгляд, материал, который
необходим для квантовомеханических приложений.
С другой стороны, изучение представлений трехмерной группы вращений и
группы Лоренца может служить хорошим введением в общую теорию
представлений групп Ли; оба эти примера тем более удачны, что на них
отчетливо видна разница между представлениями компактных групп (группа
вращений) и локально компактных групп Ли (группа Лоренца). Кроме того, из
приведенного в книге^материала достаточно ясно обнаруживаются связи
теории представлений с другими разделами математики (сферические функции,
тензоры, дифференциальные уравнения и т. п.); в общем случае эти связи
еще не всегда хорошо изучены.
Первой частью книги, посвященной группе вращений, служит статья,
опубликованная двумя из авторов - И. М. Гельфандом и 3. Я. Шапиро - в
"Успехах математических наук" за 1952 г. (т. VII, вып. 1) под заголовком
"Представления группы вращений трехмерного пространства и их применения".
К этой статье добавлены пп. 6 и 7 § 9 и заново написанный § 10, в котором
вычисляются коэффициенты Клебша-Гордона.
Вторая часть книги, где изучаются представления группы Лоренца и
релятивистски-инвариантные уравнения, написана Р. А. Минлосом. При этом,
однако, выбор материала, а также план и стиль изложения детально
обсуждались всеми авторами. При написании последней главы - о
релятивистски-инвариантных уравнениях-в основу была положена работа И. М.
Гельфанда и А. М. Яглома "Общие релятивистски-инвариантные уравнения и
бесконечномерные представления группы Лоренца" (ЖЭТФ, т. 18, № 8, 1948
г.); таким
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
образом, эту главу можно рассматривать как подробное и несколько более
полное изложение упомянутой статьи.
Включение в книгу релятивистски-инвариантных уравнений, помимо их
самостоятельного интереса, оправдано еще и тем, что применяемые здесь
методы широко используются в предыдущей главе при изучении самих
представлений группы Лоренца; таким образом, по своим методам обе главы
второй части составляют единое целое. Отметим еще, что во второй части
упор в изложении сделан на конечномерные представления, поскольку до
настоящего времени главным образом они были существенны в физических
применениях.
Читателю, желающему глубже и более подробно изучить представления группы
Лоренца, мы рекомендуем обратиться к книге М. А. Наймарка "Представления
группы Лоренца", в которой последние изложены с исчерпывающей полнотой.
Авторы считают непременным долгом отметить большую работу, проделанную
редактором книги Ф. А. Березиным, далеко выходящую за пределы обычных
редакторских обязанностей. Его многочисленные требования, советы и
замечания значительно повысили качество книги. Мы благодарны ему.
И. Гельфанд, Р. Минлос, 3. Шапиро
ЧАСТЬ I
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
ГЛАВА 1
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Группа вращений трехмерного пространства
1. Определение группы вращений. Рассмотрим все вращения трехмерного
пространства вокруг фиксированной точки (начала координат). Под
произведением двух вращений gt и g2 мы понимаем вращение g, состоящее в
последовательном применении сначала g2 и затем gx *). Запишем это так: g
= gig2. Нетрудно проверить, что совокупность G всех вращений образует
группу, т. е. что при таком определении умножения выполнены все групповые
аксиомы. Единицей группы е, или, как мы будем говорить, единичным
вращением, является при этом поворот на нулевой угол.
Если х - некоторый вектор, выходящий из начала координат, то вращение g
переводит его ор х'. Мы будем обозначать
это так:
Выясним, как аналитически записать вращения. Выберем в трехмерном
пространстве фиксированную ортогональную систему координат. В ней
вращение задается формулами
з
где хк-координаты вектора х, а х'. - координаты вектора х'. Матрица
Hgj*|] определяет данное вращение. Мы будем эту матрицу обозначать той же
буквой g, что и вращение. Найдем, каким условиям должны удовлетворять
числа gik. Так как вращение не меняет длин и углов, то оно не меняет
скалярных произведений. Таким образом, если x'=gx и y' = gy, то
X ---- ?Л.
(1)
(2)
3
3
ЖхМ = 2чу*
г=1 * = 1
(3)
*) Такой порядок принят обычно при перемножении линейных преобразований.
10
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИИ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Подставим в левую часть равенства вместо х'{ и у' их выражения по формуле
(2): з
2 gikguxkyi = 2 хкУк-
г, к, I 7; = 1
Сравнивая коэффициенты при хкуг в левой и правой частях, мы получим:
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed