Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
координат, и как формулу, дающую переход к другому тензору в той же самой
системе координат. Обе точки зрения одинаково законны. Это отчетливо
видно на примере тензоров первого ранга, т. е. векторов щ. Действительно,
если понимать под || [| матрицу поворота системы координат, то формула
а\, - 2gi'iai есть формула преобразования компонент данного вектора.
Если же понимать под Ц^йН матрицу, задающую вращение пространства в
определенной системе координат, то та же формула дает компоненты
повернутого вектора.
(2)
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
67
Из формулы (1) и ортогональности матриц Ц^Ц следует, что след тензора
ранга г по любым двум индексам сам есть тензор ранга г - 2.
Действительно*),
т. е. мы доказали, что след тензора преобразуется по тензорному закону и
является, следовательно, тензором ранга г-2. В частности, след тензора
второго ранга есть тензор нулевого ранга, т. е. скаляр (число, не
зависящее от выбора системы координат). Тензор третьего ранга имеет три
следа: aiik, аш, аш, каждый из которых является вектором.
Операция образования следа дает нам способ строить подпространства в
пространстве R, инвариантные относительно тензорного представления.
Действительно, тензоры ...-гг. у которых след по некоторой паре индексов
равен нулю, образуют в R подпространство, инвариантное относительно
тензорного представления. В самом деле, рассмотрим элементы ...( из R, у
которых след, например по первым двум индексам, равен нулю, т. е. bi^...
t = ~aiuyi...ir = 0. Тогда из формулы (3) следует, что а\чн< =
= 0, т. е. а'{' / принадлежит тому же подпространству. Значит,
это подпространство инвариантно.
*) В дальнейшем мы будем, как это обычно делается при вычислениях с
тензорами, опускать знак суммы в выражениях, в которых суммирование
производится по дважды встречающемуся индексу. При этом условии формула
(1), например, запишется в виде
есть в этих обозначениях условие ортогональности матрицы || II-
Таким образом,
(3)
а определение следа в виде
аш3 ... ir-
Равенство
Si' i, Si' i2 ^ i{.
68
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Определим теперь операцию умножения тензоров. Для этого рассмотрим два
тензора и , вообще говоря, различного
ранга г к р. Произведением этих тензоров называется тензор ранга г-\-р,
компоненты которого представляют собой произведения различных компонент
аад,..Д и fry,...} , т. е.
сьч ... iji, it... jp = "<,... i bit¦ V
Нетрудно проверить, что при преобразовании координат эти числа
преобразуются так, как должны преобразовываться компоненты тензора ранга
г-\-р, т. е. произведение тензоров действительно является тензором. Из
формулы (1) очевидно также, что при преобразованиях представления
произведение тензоров ау,... у и bjj,... j переходит в произведение п'.у
:: Ь'/у
*1 2 "¦ г Г2 " р
Чтобы получить инвариантные подпространства иного типа, чем были указаны
выше, введем в рассмотрение так называемый единичный тензор второго ранга
bik, компоненты которого в любой системе координат определены равенствами
f 0, i ф k,
8"=i l, ,=*.
Проверим, что bik есть {тензор. Действительно,
(О, /'=?#,
^i'k' ?i'i?k'ifiik = ^i^kSk'k = j ^ р - fc'JS
т. е. компоненты этого тензора не меняются при переходе к другой системе
координат.
Рассмотрим теперь тензоры r-го ранга, являющиеся произведениями
единичного тензора на тензор ранга г - 2, т. е. тензоры вида
ai,{zH ¦ у = ^
Так [как преобразования, составляющие представление, переводят единичный
тензор снова в единичный тензор, а произведение в произведение, то
тензоры вида (4) также образуют инвариантное подпространство в
пространстве R тензоров г-го ранга.
Покажем, что всякий тензор /"-го ранга можно представить как сумму двух
тензоров, первый из которых имеет вид ... *г> а для
второго Ойу..^ = 0. {Действительно, возьмем произвольный тензор
"V, ,.,if и вычтем из него тензор где bia...tr - след
...ir п0 первым двум индексам. Мы получим тензор с^ц... у , след которого
по первым двум индексам, как легко видеть, равен нулю (так как 8И = 3),
что и доказывает наше утверждение. Таким
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
69
образом, пространство R тензоров r-го ранга можно разложить в сумму
инвариантных подпространств R' и R", где R'-подпространство тензоров, у
которых след по первым двум индексам равен нулю, a R"-подпространство
тензоров вида (4).
Аналогичное разложение можно осуществить с помощью свертки по любой
другой паре индексов.
Укажем здесь еще другой способ выделения инвариантных подпространств в R.
Пусть s обозначает произвольную перестановку чисел ixi2 ¦.. ir>
переводящую эти числа в j\j2 ¦ ¦. jr. Поставим тензору r-го ранга
а*,!,...* в соответствие тензор, в котором переставлены индексы, т. е.
Ojj, ...у . Переход к этому тензору обозначим через 5, т. е. положим:
Saijz... if = aj,ji... jr •
Очевидно, что S-линейное преобразование в пространстве тензоров r-го
ранга. Мы будем называть преобразования такого рода преобразованиями
