Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
\cvi\ = ']/~ Полагая снова с\г ~-у (см. примечание на
стр. 63), находим с помощью второго из соотношений (8)
ст уГ(1 + т+1)(1 - т)
2/-(/+1)
Идя тем же путем, мы из третьей формулы (8) найдем, что
(1 + т){1 + от+ 1)
13 ~~V 2/(/+1)
(при этом мы воспользовались тем, что |с~г+1]2 -1-| с~^12____________
I -г+112 1 -г+i , Г 1 \
- |C11 I ~ Г(2/ + Г) ' и' как и ВЬ1Ше' положили Си -у т^Т+Т)/'
Таким образом, мы определим все элементы первой строки матрицы С(ш).
Для того чтобы найти вторую строку этой матрицы, применим к первому из
равенств (7) преобразование Н+. Мы получим тогда:
V 2е0/от+1 + *\n+2eJm+2 = + CU<b+lglnJ^C%*mUglmll >
и, заменяя теперь каждый из векторов левой части, снова по формулам (7)
найдем простые соотношения, выражающие элементы второй строки матрицы
С(т) через известные уже элементы первой
строки. Отсюда однозначно определятся с(tm), с(tm)2, с(tm). Дальше, применяя
преобразование Н+ ко второй строке равенств (7), мы аналогичным образом
выразим элементы третьей строки матрицы С(га) через элементы второй и
отсюда найдем с(tm), с(tm), с(tm).
Окончательно получается следующий результат:
1|/~ (1 - т)(1 - т + 1) 1 f (1+m + l) (t-m) 1 f (l + ") (l + m +1)
W (21 + 1x21+2) V 2111+1) г
(21 + 1) (21 + 2) Г 2/0+1) Г 21(21+1)
"Сгтг! 11 f (I + m + 1) (l_m + l) т i/"(1 + яг) (1-m)
^ =1 г (2/+1)0+1) ГГр+Т) ' г(2г + 1)
Дг + т) о + т + 1) 1/ (1 + т) о -ш + 1) l/"(i^m) (1-m+lJ
(21+1) (21 + 2) Г 21(1+1) Г 21(21+1)
(9)
В силу ортогональности этой матрицы, обратная к ней совпадает с
транспонированной, и поэтому векторы g1^1, glm, gвыражаются через e_fm+v
e0fm, e+fm_x с помощью столбцов этой же матрицы. Рассмотрим теперь
произведение неприводимого представления
с / - у на произвольное неприводимое представление с номером /. Оно
разлагается на представление с номером / + -^- (^базис в соот-
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 65
ветствующем пространстве обозначим g* 2 ^-I - m ^
и представление с номером I - у ^базис-gm 2 ^^ +-g-I - . Аналогично
предыдущему имеем:
еL-fm_-L= спёш 2 + с"ёт 2 2 т 2
*+4-
1-4-
/ 1 -- гш Р* ^ -I- Р* ^
" 1 ----------°21&ш * С22бщ
~г (tm)+т
Применяя //+ к первому равенству и Н_ ко второму и полагая
г+Т /* * .
21
1, мы найдем, что матрица С<т) для остальных зна-
чений т имеет вид
Q(m) _
/
t + т + •g" 2/+ 1
/-* + j
2/ -Ь 1
/'
2/+1
/+/я +-2/ + 1
(10)
§ 5. Тензоры и тензорные представления
В предыдущем параграфе, в связи с определением произведения
представлений, мы определили понятие тензора. Мы говорили, что нам задан
тензор r-го ранга в трехмерном евклидовом пространстве, если каждой
ортогональной системе координат сопоставлена совокупность ЪТ чисел aii^ i
, которая при переходе от oduoi системы к другой преобразуется по
формулам
а .г
i= 1 *1*1 *2*2
*L"r h*2 V
(1)
г&е IliTifcll-матрица перехода от одной координатной системы к другой.
Матрица перехода - это матрица, выражающая новые базисные векторы е',
е'2, е'а через старые ev е2, е3 по формулам
s
ei - 2 gufiu-
&=sl
Рассмотрим совокупность всех тензоров г-го ранга в определенной системе
координат, т. е. все системы из Зг чисел а> * ..."
12 Г•
66
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
Они образуют Зг-мерное пространство R, в котором обычным образом
определены операции сложения и умножения на число'
Формула (1) задает линейное преобразование в Зг-мерном пространстве,
переводящее jjiit f в Если каждому вращению
gz= Hg^H поставить в соответствие линейное преобразование (1), то мы
получим представление группы вращений, рассмотренное в § 4 (тензорное
представление). Это представление, как мы видели, есть произведение
трехмерных представлений группы вращений *).
Отметим, как ведут себя тензоры при отражении относительно начала
координат. При отражении координаты вектора, т. е. тензора первого ранга,
меняют знак. Отсюда следует, что при отражений относительно начала
координат компоненты тензора второго ранга не меняются, компоненты
тензора третьего ранга меняют знак и вообще компоненты тензора г-ro ранга
умножаются на (- 1)г.
Тензорные представления при г > 1 приводимы. В п. 2 этого параграфа мы
разложим эти представления на кратные неприводимым. Прежде чем это
сделать, мы в п. 1 рассмотрим некоторые операции над тензорами и их связь
с вопросом о разложении пространства тензоров на инвариантные
подпространства, т. е. о разложении тензорных представлений.
1. Основные алгебраические операции над тензорами и инвариантные
подпространства. Определим операцию свертки тензора. Для этого рассмотрим
тензор r-го ранга • Выберем те его
компоненты, у которых первые два индекса имеют одинаковое значение, и
возьмем их сумму
Выражение (2) называется следом тензора по первым двум индексам, а
операция образования следа называется сверткой. Аналогично можно
определить свертку по любой другой паре индексов.
*) Заметим, что формулу (1) можно понимать в двух смыслах: как формулу,
определяющую преобразование тензора при переходе к другой системе
