Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
канонические базисы в каждом из подпространств, на которые разлагается X
^?2> как линейные комбинации векторов emJmi. Коэффициенты соответствующих
линейных комбинаций в общем случае выглядят громоздко. В настоящем пункте
мы определим эти коэффициенты в наиболее простых и, вместе с тем, часто
встречающихся случаях, когда одно из неприводимых представлений,
произведение которых разлагается, имеет вес / = 1 или
/:=у. Общий случай рассмотрен в §.10.
Пусть неприводимое представление g-+Ug имеет вес 1=1 и ?_! = ?_, е0ие1 =
е+-канонический базис в трехмерном пространстве. R1**). Представление g-
+Vg имеет вес Z/>1, и векторы канонического базиса этого представления
обозначим fm (- I т /).
*) Не следует думать, что он совпадает с одним из базисных вектороз ег
_ifia или /г j, отвечающих этому собственному значению. Действительйо,
принадлежащий к Z?0) вектор //_ /г>) равен -j- =
== Y?-hei _\fi, + У^hei fi _!• Поэтому вектор, отвечающий тому же
собственному значению Zi + Jj'-1 и ортогональный к RW также будет
линейной комбинацией векторов et и etfj i.
**) Связь этого базиса с обычным базисом в трехмерном пространстве см. в
п. 5 § 2.
62
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Рассмотрим теперь произведение этих представлений. Базис в пространстве X
Я2, в котором действует это представление, состоит из 3(2/4-1) векторов
e+fm, eQfm, e_fm(-/<(/га-<7). По доказанному в п. 3 пространство R1 X R2
разлагается на сумму трех инвариантных подпространств, в которых
действуют неприводимые представления с весами/4- 1,/и/- 1 соответственно.
Канонические базисы, состоящие из собственных векторов Н3 в этих
подпространствах, обозначим через g^"1, glm и gj^1, где значок наверху
указывает на вес неприводимого представления, действующего в данном
подпространстве, а т, как всегда, - собственное значение Н3, которому
соответствует данный собственный вектор.
При фиксированном т каждый из векторов gj^1, glm и g1^1 является
собственным вектором Нъ в пространстве Rx X отвечающим собственному
значению т. Поэтому векторы g1^1, ^т, g1^1 являются линейными
комбинациями тех базисных векторов ета,/та> которые являются собственными
векторами Н3 с тем же самым собственным значением т, т. е. e_fm+1, е0/то,
Другими словами, g1^1,
glm, g1^1 и e_fm+v e0fm, e+fm_1 являются различными базисами в трехмерном
подпространстве *) пространства Rj^ X /?2> состоящем из всех собственных
векторов Н3, отвечающих собственному значению т. Нам нужно для любого т
найти матрицу перехода от одного из этих двух базисов к другому.
Положим:
Так как векторы е_/от+1, eQfm и e+fm_1 попарно ортогональны и нормированы
и векторы g1*1, glm, g1^1 также ортогональны и нормированы (они
принадлежат различным ортогональным друг к другу
матрица третьего порядка.
При т = - /-1 из системы равенств (7) нужно оставить верхнее, и оно
превращается в равенство
*) Если т = 1-\-\, то это пространство одномерно, а если т~1 или т = - I,
то оно двумерно.
(7)
подпространствам 7?! X Т?2)> т° матрица С(та! = |)с"1| есть унитарная
I - 1 ffl -h 1
(7')
(7")
П. 4] § 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 63
Аналогичное вырождение формул (7) произойдет при т = 1-{- 1 и при т = 1.
Для того чтобы определить матрицу С(т), применим преобразования Н_
и Н+ к обеим частям равенства (7). Мы получим тогда
рекуррентные соотношения, из которых и найдем С(т).
Сначала найдем первую строчку матрицы С(т). Для этого применим Н.. к
первому из равенств (7). Вспоминая (§ 2), что H_fm = = агде а1п -• У {I
~Ь т) (I - т-\- 1), мы из левой части (7) получаем:
H_(e_fm+1) = e HJ ,=а*е / =
\ j т+и - -j тл.\ т+1 -Jm
pfl (riTYl - 1 fyl +1 I pTYl - 1 pi I pTil - 1 pi 1 \
ra+1 v 11 &m-1 f c12 (c)m-1 • 13
С другой стороны, применяя Н_ к правой части того же равенства мы
получаем:
рШгЛ-\-\ pl-\-1 | рт*Л /уI I pTflpfl - \ rel - \
Пт bw_i "Г Li2u?nbm-l i cl3m
Эти выражения должны быть равны друг другу. Приравнивая коэффициенты при
одних и тех же векторах g и заменяя а1т их значениями, находим
рекуррентные соотношения
c\\YI-пг-j-2 = си lVl-т,
Си У (I - т -|- \) = с(tm)2~1 Y{Iт1)(^ - гп)>
сп
1f 1-\-т - 1 = с(tm) 1УI т. -f- 1.
(8)
Так как векторы е_/_г и нормированы, то из формулы (7')
следует, что |cfiZ_1| = 1- Полагая с~1^1 - 1 *), мы, применяя первую из
формул (8), находим, что
то I - т то-X ,Г С-т) С- от+1) т-2
С" = У Г^Г+2е" =V (I-т Д- 2) (/ -т + 3) ='-'
ЛГ(I - т) (/ - т-\- 1) п ___ЛГ{1 - т){1-т-\-\)п-1-\
¦¦¦ - у (/_")(/_ и+ 1) Cl1-----------V (2/ -1) (21 -)- 2) 11 '
т. е. что
ст __ (I - т) (/ -от-f 1)
(2/+1)(2/ + 2)
*) Так как каждый из трех векторов gglm и glm 1 выбирается с точностью до
численного множителя, по модулю равного единице, то мы можем
зафиксировать этот множитель, выбрав определенным образом по одному
коэффициенту в каждом столбце матрицы С^ (для какого-нибудь одного т).
64 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. I
Полагая т = - I и пользуясь тем, что матрица преобразования (7")
унитарна, т. е. должно быть ] с^г|2 + | |2 = 1, находим, далее, что
