Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
при замене т. на -т. Поэтому нам достаточно знать, какова кратность
неотрицательных собственных значений т.
Предположим для определенности, что Очевидно, что
наибольшему собственному значению т - 1х-\~1г отвечает лишь один
собственный вектор eijiа. Собственному значению т - 1х-\-1г-1 отвечают
два линейно независимых собственных вектора и
eiifi2~i, значению т = 1х-\-12-2-три линейно независимых соб-
ственных вектора и т. д. Наконец, собственному значению т-1г-1Х отвечают
21Х -)- 1 собственных вектора
e-iJh> •¦•> eiJh-zis (6)
При дальнейшем уменьшении собственного значения число собственных
векторов не может увеличиться, так как в ряде (6) использованы все
векторы ещ. Мы получим, таким образом, что каждому собственному значению
т = 12-1х, т - 1г-lx-1, . . ., яг =- (12-1Х) отвечают 2/г -}- 1
собственных вектора. Например, 2/г -j- 1 собственных вектора, отвечающих
значению яг - -(l2-R), имеют вид
e-ij-h+zh' e-i1+if-h+2i,~i> eij-h-
Уменьшая теперь собственные значения дальше от -Д°
- /2 - мы> согласно замечанию, сделанному выше, будем умень-
60
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
шать число' собственных векторов от 2/j -J- 1 до 1, так что собственному
значению -Z2- снова отвечает лишь один собственный вектор, а именно,
Если бы было Z2 < /1, то результат
был бы вполне аналогичен, только вместо Z2-Zj следовало бы писать Zx-Z2.
Итак, окончательно можно сформулировать следующий результат:
Преобразование Н3 в пространстве Rt X имеет собственные значения /-i -/2.
-h - h- При этом соб-
ственное значение ?2 имеет кратность 1, собственное значение /i -/2-1-
кратность 2 и т. д. до 112 - 1Х\. В промежутке от \l2 - lt | до - 112 -
Zj! все собственные значения имеют одну и ту же кратность l2 -lt - [ l2 -
li | -{- 1. Дальше, от -| /2 - Z, | до -/2 - lv с уменьшением
собственного значения на 1, его кратность также уменьшается на 1, так что
наименьшее собственное значение -/2 - 11 снова имеет кратность 1 *).
На какие же неприводимые представления разлагается данное представление?
Так как собственные значения т преобразования Н3 в пространстве R1'XR2
удовлетворяют неравенствам -(Zx + Zj)^ т (Zj -)- Z2), то веса Z этих
неприводимых представлений во всяком случае не превосходят Z1-(-Z2.
У Н3 есть один собственный вектор ejji, с собственным значением Zj -J-
Z2. Как мы знаем из § 2, пронормированные векторы о,/г2> H-(ehfh),
Hi(eiJQ, ..., H-(eiJh) образуют базис в подпространстве R^\ в котором
действует неприводимое представление с весом 1 - 12. Среди этих
векторов имеются собственные векторы Н3,
соответствующие всем собственным значениям от Zx -)- Z2 до -(Z1-)-Z2).
Поэтому если рассмотреть ортогональное дополнение R' к то
в R' у Н3 все собственные значения будут иметь кратность на еди-
Рис. 4.
*) Этот же результат легко получается также из рис. 4. Отмеченные точки
прямоугольника •-х- Z2 У <Н2 соответствуют встречающимся парам' значений
тг и т2. Прямая х\-у = т при т - содер-
жит одну отмеченную точку; при уменьшении т на единицу число точек,
которые на нее попадают, каждый раз увеличивается на единицу до значения
т = | /2-1Х | (т. е. пока прямая не дойдет до левого верхнего угла
прямоугольника). От этого значения до т = - |Z2 - h \ прямая содержит
одно и то же количество отмеченных точек, и затем, с уменьшением т, число
отмеченных точек, попавших на прямую, также уменьшается до нуля.
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
61
ницу меньше, чем в R = RtY, R2. В частности, собственного значения -j- /2
у Нъ в R' не будет, а наибольшее собственное значение Н3 в R' будет равно
-}- /2-1 и будет простым.
Возьмем в R' собственный вектор, отвечающий собственному значению -j-
/2-1 *). и построим, начиная с него, цепочку соб-
ственных векторов, образующих базис для подпространства в котором
действует неприводимое представление с номером li~\-l2-1"
Продолжая этот процесс, мы будем выделять из R подпространства, в которых
действуют неприводимые представления с номерами -[-12-1> -2 и т. д., пока
не придем к подпро-
странству, в котором наибольшее собственное значение равно \l2-lt\ и
имеет кратность 1. В этом подпространстве Н3 имеет собственные значения
\l2 - /t j, \l2- /х | - 1, \12 - Zt | - 2, . . ., - j l2 -11 j и, как
легко видеть, все эти собственные значения имеют одинаковую кратность 1.
Отсюда видно, что представление, действующее в этом подпространстве, есть
неприводимое представление с весом ] 12-1Х\.
Мы получили, таким образом, следующий результат: произведение
неприводимых представлений с номерами 1Х и 12 разлагается на неприводимые
представления с номерами /2, -1.
. .., \l2 - Zj |, причем каждое из этих неприводимых представлений
встречается в разложении один раз.
4. Разложение произведения неприводимых представлений, когда одно из
них имеет вес 1 или 1/2. В предыдущем пункте мы выяснили, на какие
представления разлагается произведение двух неприводимых представлений.
Для того чтобы фактически произвести разложение, нужно представить
