Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
||g'si||. Найдем произведение этого представления на себя. Произведение
двух трехмерных пространств есть девятимерное пространство, элементы
которого задаются компонентами aik (/, А - 1, 2, 3). Так как при вращении
g трехмерное пространство преобразуется с помощью матрицы Ц^Ц, то числа
aiJ{ согласно (2) преобразуются при вращении g по формулам
з з
&sr 21 21 SsiSrkaik'
i = 1 к = 1
Аналогично определяется произведение г таких представлений. Элемент из
произведения г трехмерных пространств задается системой Зг чисел aiii2...
t (iv i2 lr= 1,2, 3). При вращении g эти
числа преобразуются по формулам
з
Это представление называется тензорным представлением.
С введенным только что представлением тесно связано понятие тензора.
Предположим, что некоторая величина определяется в каждой системе
координат совокупностью Зг чисел . При этом
мы должны указать, как связаны эти числа в различных системах координат.
Для случая вектора в трехмерном пространстве эта связь хорошо известна, а
именно, если g= Ц^Ц есть матрица перехода от одной прямоугольной системы
координат к другой, то
== 21 gik&k'
Если заданная в каждой ортогональной системе координат совокупность чисел
Oi,... ir(ii> ¦ • ir- 1, 2, 3) при переходе от одной системы к другой с
помощью матрицы ^=||Дй|| преобразуется по формулам
з
о.'.' /- 21 Sfigi'i ... gi i aiJ" ... i '
= 1 11 22 ГГ 12 r
то мы говорим, что нам задан тензор r-го ранга в трехмерном евклидовом
пространстве. Другими словами, тензор г-го ранга есть элемент из
произведения г трехмерных евклидовых пространств, в котором действует
определенное выше представление группы трехмерных вращений. Более
подробно тензоры и тензорные представления будут рассмотрены в следующем
параграфе.
58
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. I
2. Преобразования, отвечающие в произведении представлений бесконечно
малым поворотам. Найдем, какие преобразования отвечают при произведении
представлений бесконечно малым поворотам вокруг каждой из координатных
осей. Чтобы сделать это, мы должны в соответствии с § 2 взять
преобразование Тд, отвечающее повороту на угол а вокруг k-Vi координатной
оси, и найти его главный член при разложении по степеням а. Множитель при
а в этом главном члене и будет преобразованием Ак, отвечающим бесконечно
малому повороту вокруг данной оси.
Мы знаем, что
где мы одной и той же буквой А обозначаем преобразование, отвечающее
данному бесконечно малому повороту при каждом из представлений.
Подставляя эти разложения в выражение Тдег/к, получаем:
Tgeifh-(е^яАе^...)(fk-{-ctAfk-\-. ••)-¦eifk~Jr(X(^eifk-\-ei^fk)~^r ¦ ¦ •>
где многоточиями, как обычно, заменены члены выше первого порядка
относительно а. Так как эта формула представляет собой разложение Tgeifk
по степеням а, то отсюда имеем:
Формула (4) дает правило нахождения преобразования, отвечающего при
произведении представлений бесконечно малому повороту вокруг какой-либо
оси, аналогичное, как мы видим, правилу дифференцирования произведения.
Аналогичная формула имеет место при произведении нескольких
представлений.
3. Произведение двух неприводимых представлений. Предположим теперь,
что представления g->Ug и g ->• V , действующие в пространствах и Я2
соответственно, неприводимы. Произведение двух неприводимых
представлений, как правило, приводимо. Выясним, как оно разлагается на
произведение' неприводимых представлений.
Рассмотрим неприводимое представление g-+Ug с весом lv действующее в
пространстве Rv и представление g->Vg с весом /2, действующее в R2¦
Выберем в пространствах Я1 и Я2 канонические базисы с_г,+1, .... еи и
/_га, /_г3-и fh (т- е- базисы, состоящие из нормированных собственных
векторов преобразования
Ugei - ei~\~ a^ei + • • ¦, ^ gfk = fk + aAfk + • • •.
A (ejh) = AeJk + е^/к.
(4)
П. 3] § 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 59
H3 = iA3 в этих подпространствах). Тогда мы будем имёгь:
Н3ет1 - щет, (-
^з/>иа == ( ^2 ^2 -С ^2)
(см. формулы (19) § 2). Рассмотрим преобразование Н3 для произведения
представлений Uд и V . Согласно доказанному в п. 2
Я3 (^от, fяг2) == ^з^йг,/)"а ~Ь" Ст2 z= WL\?mjт% "Н ^2^m jт"z=
- (OTi -j- яг2) (o)
Таким образом, базис emJ"h пространства X Rг представляет собой систему
ортогональных и нормированных собственных векторов преобразования Н3 с
собственными значениями т - тх -j- гл2.
Выясним теперь, на какие неприводимые представления разлагается
произведение представлений. Для этого найдем сначала, каковы собственные
значения преобразования Н3 в пространстве Rx X Rz и какова их кратность.
Так как тх меняется от -1Х до 1Х, а т2-от -/2 до 12, то
из формулы (5) следует, что собственное значение т. преобразова-
ния Н3 в Rx X R2 принимает значения -}- /2, 1х-\~12-1, . . ., -1Х-1г.
Для того чтобы найти кратность каждого собственного значения т, нужно
найти число векторов emJn4, для которых т1 т2 - т. Так как вместе с
каждым вектором' emJmа базису принадлежит и вектор то ясно, что число
решений задачи не меняется
