Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
использована в начале этого
52 гл. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. I
пункта для получения рекуррентного соотношения. Для этого мы
гт<р
подставили в нее У(tm) (8, <р) =-у= Р(tm) (cos 6) и получили формулу
У 2тг
(1Рт
УТ=72 ~у~ = т - > - " Р? (JX) + У(1 + т){1 - т+\) Р? ~1 (р).
da у 1 -а2
(21)
Аналогично соотношение H+Yf = ат+\УГ+1 Дает Другую рекуррентную формулу
d Рт
= зтт^Г р1 (V) + V<l + rn + \)(!-m) РГ + 1(Y).
d\х у 1 -аг
(22)
Складывая формулы (21) и (22), мы получим связь между тремя
последовательными нормированными функциями Лежандра:
У(1 + m + 1) (/ - m) РТ (р) + 2m ~г== р? (р) +
У 1 -(j.2
+ У(/_|_и)(/_Я1+1)Я,'в-1(11) = 0. (23)
В § 7 будут выведены другие рекуррентные соотношения между
присоединенными функциями и многочленами Лежандра с различными значениями
I.
С помощью формулы (22) можно получить другое, более распространенное
выражение для присоединенных функций Лежандра. Положив в этой формуле т =
0, мы найдем, что Р\ (р) = - (1 - •
Положим вообще:
Ш
/>Г(р) = ( 1-р2)тУт(р). (24)
Тогда формула (22) дает простую связь между функциями Vm(p)
т/ / \ ______1 d V'tn (р)
vm+lW- T •
am+l "P
m . ^/"27+T 1 dl№- \)1
Так как Vn (p) = 1/ - ------------------------------=-- , то отсюда
находим, что
0 ' 2 2 • l\ dp1
vw(p)=(-ir !------j/*
dl + m(p 2-1)J
,l+m
Подставляя Ут(р) в формулу (24) и заменяя ат их значениями, мы получаем
следующее выражение для присоединенных функций Лежандра:
* (I -f- т)\ ' 2 2* - /! 1 sg dрт+г
(25)
П. 5] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 53
Сравнивая выражения (19) и (25), мы видим, что при замене т на - т одно
из них, с точностью до множителя, переходит во второе. Отсюда следует,
что
^Г(р) = (- \)тРТт(у),
т. е. нормированные присоединенные функции Лежандра с противоположными по
знаку значениями т пропорциональны между собой.
Заметим, наконец, что если заменить в формуле (25) , Г21 4- 1 1 dl(y.2 -
1)г " . .
У dv} Ч6ре3 1 Р Т0 МЫ П0лучим:
р? (Н.) = (- 1Г [/*(! - . (26)
Эта формула является известным выражением нормированных присоединенных
функций Лежандра через нормированный многочлен Лежандра соответствующего
порядка.
5. Разложение функций на сфере по сферическим функциям. До сих пор мы
строили отдельные неприводимые представления. Из § 1, п. 5 мы знаем, что
каждое унитарное представление группы вращений, даже бесконечномерное,
можно разложить на неприводимые представления. В начале этого параграфа
мы определили бесконечномерное пространство функций с интегрируемым
квадратом модуля на поверхности сферы. Преобразования сдвига Тд дают в
этом пространстве унитарное представление группы вращений.
Общая теорема о разложении представления на неприводимые означает в этом
случае, что каждую функцию /(0, <р) с интегрируемым квадратом модуля на
поверхности сферы можно представить как сходящийся в среднем ряд
/ - ?о + ?1 + ?г + ¦ • • + ?г + • • • >
где каждый элемент принадлежит инвариантному подпространству, в котором
действует неприводимое представление.
Мы выяснили уже, что каждое из этих инвариантных подпространств состоит
из сферических функций определенного порядка, т. е.
?i = 2 сГС(0.?)-
m~-l
Заметим, что из общих теорем § 3 следует, что Y(tm) {%, ср) образуют
ортогональную систему на поверхности сферы. Действительно, сферические
функции с разными I ортогональны, так как они принадлежат
подпространствам, в которых действуют неэквивалентные неприводимые
представления. При одном и том же / и различных т. они ортогональны как
элементы канонического базиса.
54
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Таким образом, доказано, что произвольная функция с интегрируемым
квадратом модуля на поверхности сферы разлагается в ряд, сходящийся в
среднем, по ортогональной системе сферических функций. Отсюда, в
частности, следует полнота системы сферических функций на поверхности
сферы.
Разложение функций в ряд по сферическим функциям полезно во многих
вопросах математической физики в силу инвариантности такого разложения
относительно вращений. По этой причине сферические функции играют в
задачах, связанных с поверхностью сферы, ту же роль, какую играют
тригонометрические функции в задачах, связанных с окружностью.
§ 4. Произведение представлений
В этом параграфе мы укажем способ, как по двум данным представлениям
группы вращений построить третье представление, называемое их
произведением. При этом окажется, что многие важные представления
являются произведениями простейших. Так, например, тензорные
представления, которым посвящен следующий параграф, оказываются
произведениями неприводимых представлений с I - 1, а спинорные
представления (см. § 6) - произведениями неприводимых представлений с 1 -
^-.
Далее мы покажем, как разлагать произведение двух неприводимых
представлений на неприводимые представления.
1. Определение произведения представлений.Прежде чем определить
произведение представлений, нам придется ввести произведение пространств.
