Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
TgJgJix) = Tgj(g[:x)=f((g I Va *x) ) =/((§2^1) 1 x) = Tg,gJ (*)•
Так как при вращении сфера с центром в начале координат переходит сама в
себя, то при рассмотрении преобразований мы можем ограничиться функциями,
заданными на поверхности такой сферы. Будем поэтому считать, что х\ х\ -
(- х\ - 1, т. е. что х лежит на поверхности единичной сферы. При этом
часто нам будет удобнее считать, что вектор х задан своими сферическими
координатами 0 и ср, и полагать xl = sin б cos ср, лг2 = sin 6 sin ср и
a;3 = cos0.
Ограничимся также функциями /(0, ср), квадрат модуля которых интегрируем
по поверхности сферы, и определим скалярное произведение таких функций
формулой
В метрике, определенной таким скалярным произведением, введенные
преобразования Тд унитарны. - В самом деле, так как при повороте элемент
поверхности сферы не меняется, то интеграл от произведения
преобразованных функций равен интегралу от произведения исходных функций.
Если обозначить координаты конца вектора х через 0, ср
Tgf(x)=fx(x), где fx{x)-f{g-lx).
(2)
TgJ(.x)=f(gi Хх),
а в результате следующего - в
Это значит, что
(3)
(/. ?> = / //(6> <Р)?(0* ср) sin 0 db dy.
о о
44
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
и координаты конца вектора х' через 0', <р', то это значит, что
2ir те
(Tgf. Tgs) = / //(6'> ср') Sin 0 d0 dcp =
О о
2тс те
= / //(04 <р') "Ч07ГтО Sin 0' rf<p' = (/, ^), о о
т. е. преобразования Тд унитарны.
Мы построим с помощью введенных преобразований неприводимые представления
с любым целым I. Для этого мы построим конечномерные пространства,
состоящие из функций, в которых определенные нами преобразования Тд
реализуют неприводимые представления группы вращений с данным весом I.
Соответствующее конечномерное пространство для каждого I будет состоять
из линейных комбинаций 2? -j- 1 функций fm(x) (-Функции fm (х) мы
подберем так, чтобы они образовывали канонический базис для этого
представления. Функции на сфере, принадлежащие пространству, в котором
реализуется неприводимое представление с данным весом I, называются
сферическими функциями l-го порядка. Функции fm(x), образующие
канонический базис в этом пространстве, называются основными сферическими
функциями l-го порядка. Так как канонический базис определяется с помощью
преобразований, отвечающих бесконечно малым поворотам, то для нахождения
fm(x) мы сначала, в п. 2, построим по введенным нами Тд преобразования
Аг, Аг, А3, отвечающие бесконечно малым поворотам.
2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам.
В п. 1 мы ввели линейные преобразования Тд в пространстве функций па
поверхности сферы. Построим по ним преобразования Av А2 и А3, отвечающие
в этом пространстве бесконечно малым поворотам вокруг осей координат.
Функции /, к которым применяются преобразования Тд, будем здесь считать
дифференцируемыми **).
*) Собственно говоря, определив преобразования Тд и доказав свойство (3)
и унитарность этих преобразований, мы определили унитарное пре t-
ставление в пространстве всех функций с интегрируемым квадратом модуля на
поверхности сферы. Дальше естественно поставить задачу о разложении этого
представления на неприводимые. Построением для каждого I системы функций
fvl(x) мы решаем основную часть этой задачи, а именно, выделяем из
пространства функций инвариантные подпространства, в которых действуют
неприводимые представления группы вращений. Полностью задача о разложении
решается в п. 5 этого параграфа.
**) Из того, что всякое унитарное представление группы вращений
разлагается на неприводимые, и из добавления к § 2 следует, что
инвариантное подпространство функций, в котором действует неприводимое
представление, при любом I состоит из дифференцируемых функций.
П. 2] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 45
' Найдем сначала оператор А3, отвечающий бесконечно малому повороту
вокруг оси Oz. Для этого мы должны рассмотреть поворот g на угол а. Так
как (см. определение в § 2) Т - Е -f-а<43 -|- то для того, чтобы
вычислить A3f, мы должны Tgf разложить по степеням а и взять коэффициент
при первой степени а.
Мы имеем Tgf(x)-f(g~1x). Поэтому для поворота g вокруг оси Oz имеем Т/(0,
ср)-/(6, ср - а).
Разлагая /(0, ср - а) по степеням а, мы получаем:
/(0, ср -а) = /(0, ср) - a
df(d, <р)
d'-f
(4)
Итак,
<У(в. у)
d'-f
и оператор Л3 есть дифференциальный оператор, имеющий вид
д_ d'-f '
Легко видеть, что вообще все Ак (6=1,2, 3) для определенных в п. 1
преобразований Тд над функциями / будут дифференциальными операторами
первого порядка. Действительно, для малого вращения g на угол а вокруг
какой-либо фиксированной оси Т f(0, ср)=/(6', ср'), где 6' и ср' зависят
от угла поворота а и обращаются в 0, соответственно ср, при а = 0.
Разлагая Г'/ = /(0', ср') в ряд по а, получим:
/<в', <Р')=/(в. '(> + {§%+;%-?)
следовательно, соответствующий данному бесконечно малому повороту
оператор А имеет вид
где
А а (6, сp)-iL_|_?(0, ср) JL
