Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
группы. Для первого из них Та_ = Е, а для второго Тд_ = -Е.
Например, при 1 = 0 мы имеем два представления. В первом из них Тд_ = Е и
как вращения, так и отражения не меняют преобразуемую величину. Такая
величина называется скаляром. Во втором случае Тд_ = - Е и величина не
меняется при вращениях и меняет знак при отражениях. Такая величина
называется псевдоскаляром. Примером псевдоскаляра является определитель,
составленный из компонент трех заданных векторов.
При I = 1 величинами, преобразующимися при вращениях, являются векторы
трехмерного пространства. При отражениях обычные векторы меняют знак, т.
е. Tg_ = - Е. Если Тд_ = Е, то величина, преобразующаяся по такому
представлению, называется псевдовектором.
ДОБАВЛЕНИЕ К § 2
41
В учебниках векторного исчисления .обычные векторы часто называют
полярными векторами, а псевдовекторы (например, векторное произведение
двух полярных векторов) - аксиальными векторами.
В общем случае величину, преобразующуюся по неприводимому представлению
полной ортогональной группы, называют /-вектором, если Тд_ = (-1 )г Е, и
соответствующей псевдовеличиной, если
Добавление к § 2. Доказательство дифференцируемости
матрицы Тд
При построении матриц Alt А2, А3 мы использовали дифференцируемость Тд по
параметрам ;1( ?2, ^з- Докажем сейчас эту дифференцируемость. Для этого
мы покажем, что для любого вектора rt функция Г т) есть дифференцируемая
функция от g. Возьмем произвольный элемент и положим сначала:
где f{g) - некоторая функция на G, дифференцируемая по g (т. е. по
параметрам ?1( с2, ?3). Здесь интегрирование понимается в смысле
инвариантного интегрирования, введенного в § 1, п. 3. Заметим, что
f{g)Tu% есть вектор из R, и под его интегралом мы понимаем следующее: мы
рассматриваем произвольный базис и интегрируем каждую компоненту.
Покажем, что функция Тдч\ дифференцируема по g0. Для этого ВЫЧИСЛиМ Тд
7[.
В силу того, что интегрирование понимается как инвариантное
интегрирование, мы имеем:
Следовательно, для дифференцирования Тдч] по параметрам нужно по ним
дифференцировать функцию /(/Гф1/?). Но мы .предполагаем эту функцию
дифференцируемой. Поэтому дифференцируема и Тв:у\.
Покажем теперь, что Тд,у\ дифференцируема для любого вектора т]. Ясно,
что если функция ТУ(у\ дифференцируема по go для т] = тл и 7j = т)2, то
она дифференцируема и для вектора т), являющегося их линейной
комбинацией. Мы доказали дифференцируемость Т ч\ для векторов вида
yl = f f(S) Tgtdg,
Мы имеем:
ТвУ1=Тд, f /(g) TgUg= f fig) TgTB\dg= f f(g) TggUg.
TeSl = f f{g/lS)T0Ug.
(*>
42
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Покажем, что линейные комбинации векторов вида (*) заполняют всё R. Для
этого покажем, что вектор т)0, ортогональный ко всем векторам вида (*),
равен нулю. Действительно, пусть (т)0, т}) = 0
для любого V - f /(g)Tghdg, где /(g)- произвольная дифференцируемая
функция, т. е.
(ъ> f f(g) Tgldg) = О,
т. е.
//(g) (^0. Ta\)dg= 0.
Так как /(g)- произвольная дифференцируемая функция, то имеем:
(т)0, Тд\) - 0 для любого g и любого ?.
В частности, положив g - e, имеем:
(Чо' S) = 0 Для любого ?,
т. е. 7)0 = 0, что и требовалось доказать. Итак, функция Тдт\
дифференцируема для любого вектора г\. Выбирая в качестве т) векторы
базиса, мы получаем, что элементы матрицы Тд дифференцируемы.
'§ 3. Сферические функции и представления группы вращений
В § 2 были перечислены возможные неприводимые представления группы
вращений трехмерного пространства. Мы перейдем теперь к одной из наиболее
часто встречающихся в анализе реализации этих представлений, а именно,
будем реализовать операторы Тд представления как преобразования функций.
При этом естественным образом возникнут системы функций, инвариантные
относительно вращений, -так называемые сферические функции.
Из результатов этого параграфа будет также вытекать существование
неприводимых представлений веса I для всех целых значений I. Метод, с
помощью которого мы найдем эти сферические функции, является в
достаточной мере общим. Так, в § 7 мы аналогичным образом получим другой
класс специальных функций.
1. Определение сферических функций. Рассмотрим функцию
f(x)=f(xltx2,x3). Вращение g запишем в виде
x' = gx или = (!)
Если подставить в f(xlt х2, х3) вместо хк их выражение через х'{ {из
(1)), то мы получим новую функцию fi(x 1, х'2, х'з). Мы будем говорить,
что при вращении g функция / переходит в fv Преобразование, переводящее /
в fv обозначим через Тд. Таким образом, каждому вращению g отвечает
преобразование Тд над функциями f(x), состоя-
п- !]*§ 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 43
щее в том, что функция / переходит в функцию fu получающуюся из / заменой
х его выражением через х', а именно, через g~1x', т. е.
Ясно, что преобразование Тд линейно: сумма функций переходит в сумму и
произведение на число - в произведение на число.
Покажем, что произведению вращений отвечает произведение преобразований
Тд. Для этого возьмем два последовательных враще-
