Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве, является одновременно унитарной, то наше представление
унитарно. Канонический базис для основного представления имеет вид
f - lev f - p f __________ ex iey *)
/-1 у j . Jo Ji у-2
где ex, ey и ег - единичные векторы по осям координат. Легко проверить,
что преобразования Av А2 н А3 имеют в каноническом базисе такой вид,
который получается из формул (19) при 1=1. Найдем матрицу, отвечающую в
этом базисе конечному повороту на угол ср вокруг оси oz. В базисе ех, еу,
е, это преобразование имеет вид
4 - ех cos ср -f- "г, sin ср,
4== - ех sincp+'^coscp,
*) Элементы канонического базиса суть нормированные собственные векторы
преобразования Нъ. Из формулы (7) § 1 легко получить, что мат-
0-10
рица Н3 в базисе ех, еу, ez имеет вид
38
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Отсюда /-1 =
ех - 1е
V2
V (ех cos 9 -f еу sin 9) - l (- ^ sin 9 + cos 9)
У 2"
О.т - ley)
' У 2
fo-
' ег -/о.
У
е-гт = е~
У 2 У 2
Матрица поворота gв имеет, следовательно, вид
gtf 0 0
0 1 0
0 0 е~*ч
Найдем компоненты с_, а0 и а+ вектора а в каноническом базисе. Из
равенства axex-\-ayey-\-azez = a_f_i-\-a0f0-{-a+f1, после замены f_v /0 и
/j их выражениями, получим, что
{а_-\-а+), аг = а0
У 2
или
У 2
. _______ - Да- + *"¦
й+- У 2
а0 ¦-- #2"
Дд. -f iciy
а =
У 2" •
Прежде чем разбирать другие примеры, найдем в случае произвольного веса /
матрицу Т , отвечающую конечному повороту вокруг оси Oz. Из формул (19)
мы имеем, что матрица Л3, отвечающая бесконечно малому повороту вокруг
оси Од, имеет вид
а 0 0 0
0 К1-1) 0 0
Л3 = 0 0 1(1-2) . 0
0 0 0 . -и
П. 5] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 39
Как было показано в п. 1 настоящего параграфа, повороту g на угол ср
вокруг оси Oz отвечает матрица Tq = еА&, т. е.
ещ 0 0 .. 0
0 е* (г-!) ? 0 .. 0
0 0 9- м4 1 Vi .. 0
0 0 0 g-ilf
Если число I - полуцелое, то единичному вращению мы должны сопоставить
две матрицы Е и -Е. Действительно, если угол поворота ср менять
непрерывно от нуля до 2тс, то матрица Тд непрерывно меняется от Е до -Е.
Таким образом, при полуцелом I мы не получаем однозначного непрерывного
представления. С аналогичным положением мы встретились в п. 4 § 1. Там мы
каждому вращению поставили в соответствие две унитарные матрицы второго
порядка, отличающиеся знаком. Произведению вращений отвечало произведение
матриц, также взятое со знаком -|- или -. Мы получили при этом так
называемое двузначное представление группы вращений. Такие представления
будут подробно рассмотрены далее в § 6. Там будет показано, что
аналогичное соответствие можно построить для любого полуцелого I.
Случай, разобранный в § 1, отвечает 1 = Найдем для этого
случая матрицы Ак, отвечающие бесконечно малым поворотам вокруг осей
координат. Эти матрицы определятся однозначно, если поставить единичному
вращению в соответствие матрицу
1 0 II О 1 I
и для близких вращений определить знак матрицы по непрерывности (см. п. 4
§ 1). В § 1 выписаны матрицы второго порядка, отвечающие конечным
поворотам вокруг осей Ох и Oz (см. формулы (18) и (19) § 1).
Продифференцировав эти матрицы по б и по ср соответственно и положив
значения параметров равными 0, мы найдем матрицы и А3:
А - -
Л1 о
Далее,
0 1
1 о
A --ill 1 3 2 0
Л Г Л л 1 1 II 0 -1
А2 - [Л3, A- 2 1 0
Полученная матрица А3 диагональна и совпадает с матрицей А3 формулы (19)
этого параграфа при l - В то же время At и Аг не совпадают с
соответствующими матрицами (19). Это значит, что
40
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч.
хотя базис в комплексном двумерном пространстве состоит из собственных
векторов Н3, он отличается от канонического базиса нормировкой. Умножим
первый из базисных векторов на /, а другой на - I, т. е. положим:
Ai =
Л2 = Ая =
i 0 I i 0 1 - I 0 I 0 1 1
0 - / ~2 ll 0 0 i 2 1 0 I'
1 0 1 0 - 1 - i 0 1 0 1
0 - t 2 1 0 0 I - 2 - 1 0
i 0 1 1 0 ! - t 0 i 1 0
0 - i 2" 0 - 1 0 i ~~ 2 0 - 1
(26)
Мы видим, что матрицы А% совпадают с матрицами, определенными по формулам
(19) при 1 = - , т. е. новый базис уже является
каноническим. Матрица второго порядка, отвечающая в каноническом базисе
произвольному вращению с углами Эйлера <pt, 6, <р2, выглядит так:
i?i±5L 9 -ifiZl
- i sin тг e г
0
COS Ye
cp3 - ¦c>i
COS Y e
(27)
До сих пор мы рассматривали неприводимые представления группы вращений.
Остановимся коротко на представлениях полной ортогональной группы, т. е.
группы вращений с отражениями. Так как всякий элемент полкой
ортогональной группы есть либо вращение g, либо произведение gg_ вращения
на отражение относительно начала координат (см. п. 1 § 1), то для
рассмотрения неприводимых представлений полной ортогональной группы
достаточно задать преобразование, отвечающее отражению относительно
начала координат. Так как gz_ - e, то Т1 -Е и отсюда можно вывести, что
при целых I Tg_ = -±zE. Таким образом, для каждого целого I существуют
два различных неприводимых представления веса I полной ортогональной
