Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
356
ДОПОЛНЕНИЯ
Все матрицы вида (1) образуют, очевидно, однопараметрическую подгруппу
группы ортогональных матриц. Всего таким образом можно построить га (п-
1)/2 различных однопараметрических подгрупп. Можно показать, что каждая
ортогональная матрица представима в виде произведения матриц gik(t) из
этих подгрупп.
Рассмотрим теперь представление g->-Tg группы К". Каждой
однопараметрической подгруппе gik(t) отвечает в этом представлении
инфинитезимальный оператор Iik (i < k = 1 ri). Напишем соотношение
коммутации между этими операторами. Заметим, что при тождественном
представлении g ->¦ g группы Кп инфинитезимальным оператором, отвечающим
подгруппе gik(t), является матрица eik, у которой элементы gik =-= 1, а
остальные элементы равны нулю.
Нетрудно проверить, что коммутаторы таких матриц равны
г,",----------------(2)
Аналогичные соотношения коммутации возникают и между инфини-тезимальными
операторами Iik любого представления ортогональной группы.
Заметим, что всякое представление ортогональной группы унитарно. При этом
операторы Iik и Iki связаны соотношением
Из соотношений (2) ясно, что для описания представления достаточно знать,
как действуют операторы /21, /32, /43 h+i, л- так
как остальные можно выразить через них с помощью соотношений (2).
Итак, мы построим инфинитезимальные операторы 1к+1 к для всех
неприводимых представлений группы ортогональных матриц п-то порядка.
Начнем с нескольких частных случаев:
I. Напомним прежде всего случай п= 3. Каждое неприводимое представление
этой группы задается целым или полуцелым числом I. В пространстве R, где
действует такое представление, можно выбрать канонический базис {im}, где
индекс m принимает все значения, целые или полуцелые одновременно с I и
заключенные в пределах 1^-гп^-- /. Операторы /21 и /32 в базисе {?ш}
задаются формулами
hi~ im%n' 1
h'&m = У V rn) (Irn-\-\) %m+l У(I 777 -j- I) (I -tn) j
II. Рассмотрим случай n = 4. Каждое неприводимое представление группы
ортогональных матриц 4-го порядка g -+ Тд порождает представление g -*-Т~
группы матриц третьего порядка (вообще говоря, приводимое). Пространство
R, где действует представление g-*-Tg, разбивается при этом в сумму
подпространств Rt, в каждом из которых представление g -> Т~ неприводимо
и задается весом /.
ДОПОЛНЕНИЯ
357
Можно показать, что вес I принимает по одному разу все целые или
полуцелые значения, заключенные между двумя числами т4 и | т2 |: тх ^
\ т2 |, числа тх и т2, определяющие представление,
одновременно целые или полуцелые. В каждом из подпространств Rt можно
выбрать канонический базис {^TO}, причем объединение этих базисов
образует базис во всем пространстве R. Операторы /12 и /23 действуют в
базисе {^} по формулам (3). Оператор же /43 задается формулой
it} -%/~ (.1 т ~Ь 1) (тх - 0 -m2~H) w
43?m V (2/+1)(2/ + 3)(/+1)* А
х а,-
¦ш /~Ц+т) (l - m)(m1 - l-[-\)(m1 + l + l)(l - mi)(l + /и?) ti-i "
К (2/+1)(2/ -1)/2 ( >
III. Наконец, рассмотрим случай п= 5. Каждое представление группы 5-го
порядка порождает представление группы 4-го порядка. Последнее можно
разложить на неприводимые компоненты, определяемые парами ти т2. Числа т1
и т2 независимо пробегают по одному разу все значения, заключенные в
пределах п1 т1 п2 ^ т2^>- п2, где числа пх и п2 (одновременно целые или
полуцелые) задают представление. В каждом из неприводимых подпространств
jm 1 /и2\
R(m1m2) можно выбрать канонический базис ? 1 )• Опера-
\ т I
торы /12, /23, /34 действуют в этом базисе по формулам (3) и (4) (индексы
тх и т2 не меняются).
Оператор /б4 задается формулой
/т4 т2
4Д 1
\ т
_ ЛГ (mx - /+1) (mi+l+V) (пх - тх) (пх -\-тх-)-2) (тх - я2+1) (wt-|-w?-)-
2) ..
' ^*2 ""Н I) (т1 ~Ь ^2 "I" {т1 ~Ь I) (т1 ^2 "1" 2)
/т1~Ь1> тч\
хП ' +
I /~(I w2) (TWg-{-/-(-1) (Z*2 - т2) (я2 Ч~ т2 ~|~ I) (П1-т2~Ю (п1 ~Ь
^ ^
"Т" Г (m* -j- zn2 -f 1) (m4 + /и2 -)- 2) (Шх - zn2)
(/пх - /и2 -f 1)
/тх, /и2 + 1\
358
ДОПОЛНЕНИЯ
-v-
(Wi +1 + !)(№!-/) (щ - m1 -f 1) (nt+m^) (wt - n2) (т^п^) (mi -f m2) (mt
m2 1) (ni! - m2) - m2 + 1)
X
- 1, OT2
XE| I
m
_ -|X (l mi Ч~ П (тч ~j~l) (n<i-m2~hl) (.пч Ч~ mi) (wi - ot2-|-2) (m2 -f-
-)- 1)
У (щ + m2) (mj + m2 + 1) (otx - ot2 -f 2) (otx - m2 + 1)
X
! ть и2 - 1
X?1 1
m
IV. Рассмотрим общий случай. Пусть п - четное: п = 2k-\-2. Образуем
схгему
Щк, 1 т2к, 2 "Ы, ft
т?к-1, 1 т2к - 1, 2 т2к - 1, к
Щк-% 1 м?к - 2, 2 • • . т2к-2, к-1
Щк-Я, 1 т2к - % 2 ¦ • • Щк-Я, к-1
тп от42
Щ1 /И3 2
"hi
тп
где числа Оту- одновременно целые или полуцелые.
При этом числа Щу пробегают значения
П1 тгк> 1 "2 ^ т2к, 2 пк т2к, к ^ | пк+1 |>
^2к, 1 ^2к - 1, 1 ^2к, 2 • • ' ^2к - 1, & ^2к-1, к'
т2к-1, 1 т2к-2, 1 т2к-1, 2 ' • • ^ т2к-2, к-1 |
т2к-1, к |
И Т. Д.
т
2р + 1, г
>ОТ;
2р, г
m'2p + l, р OT2p,
Р
. ОТ
2р, г
^2р, р
Ш2р + 1, г + 1'
| т2р + 1, р + 1 I т2р-1, i ^ от2р, г + 1> т'2р-1, р от2р, р'
г = 1 р - 1,
г = 1 р - 1,
(5)
Здесь nv пг пк+1-фиксированные числа (одновременно целые
