Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Такое разделение корректно: одно и то же представление нельзя
реализовать как в тензорах четного, так и в тензорах нечетного ранга. Как
легко следует из результатов § 6, все неприводимые компоненты тензорного
представления четного ранга эквивалентны спинорным представлениям Т^д'п\
где k н п одновременно четные. Неприводимые компоненты тензорного
представления нечетного ранга эквивалентны спинорным представлениям Т^'
п\ у которых числа k к п одновременно нечетные.
п. 6] § 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
353
производных: Ф = Ф[ф(х)]. Тогда для любого решения ф(х) уравнения (23)
найдется другое решение ф(х) того же уравнения такое, что Ф[ф(х)] =-
Ф[ф(л:)].
Таким образом, в случае частиц с полуцелым спином никакая компонента
четного тензора, квадратично зависящего от ф(х), не может оставаться
положительной для всех решений уравнения (23).
В частности, поскольку тензор энергии - импульса Т) является четным
тензором, то плотность энергии W= - не может быть положительно
определенной для частиц с полуцелым спином.
Доказательства теоремы Паули мы не приводим *). Заметим, что эта теорема
верна только для конечномерных уравнений. Для бесконечномерных уравнений,
как мы увидим в следующем пункте, энергия и заряд могут быть сделаны и
одновременно и порознь положительными как при целом, так и при полуцелом
спине.
6. Бесконечномерные уравнения с положительным зарядом или энергией.
Примерами таких уравнений могут служить бесконечномерные уравнения,
рассмотренные нами в § 9, п. 7.
1. Напомним, что волновая функция ф преобразовывалась по неприво-
Участвующие в этих представлениях веса I (спин частицы) пробегают зна-
Заметим, что оба представления т1 и т2 унитарны (см. § 2). Таким образом
скалярное произведение (фц, ф2) является инвариантной формой, причем (ф,
ф) > 0. Отсюда заряд (для плоских волн в системе покоя)
положительны.
Таким образом, мы получили два уравнения: одно для частиц с целым спином
(представление тД, другое для частиц с полуцелым спином (пара т2) для
которых положительны и энергия и заряд.
II. Это уравнение со схемой зацепления
*) Доказательство этой теоремы содержится в книге В. Паули
"Релятивистская теория элементарных частиц", ИЛ, 1947, стр. 75 и в книге
А. И. Ахи-езера и В. Б. Берестецкого "Квантовая электродинамика",
Гостехиздат, 1953, стр. 405.
димому представлению (самозацепляющемуся)
13 5
чения либо / = 0, 1, 2, 3, ... (для tj), либо I = , -?у , у
> • • • (для Ts)- Ма'
трица Lq в обоих случаях диагональна н имеет вид
^>тш/ *
(24)
и энергия
и7 = х(ф°, ф<>)
(25)
354
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. И
где 1г - чисто .мнимое или вещественное. Матрица Z,0 состоит из ящиков
При 1х чисто мнимом инвариантную форму (ф, ф) можно выбрать положительно
определенной: (ф, ф) )> 0.
В этом случае энергия положительна, а заряд может принимать значения
разных знаков. Спин частицы - полуцелый.
При вещественном 1^ мы получим уравнение с энергией обоих знаков;
3 3
при заряд будет положительно определенным и при
знак заряда будет неопределенным; спин - по-прежнему полуцелый. Наконец,
для уравнений со схемой зацепления
(где - целое или полуцелое; матрица Z.0 для таких уравнений имеет по-
прежнему вид (26)) мы будем иметь положительно определенный заряд и
энергию обоих знаков; спин, соответствующий этим уравнениям, будет целым
или полуцелым одновременно с 11ш
Таким образом, из приведенных примеров видно, что для бесконечномерных
уравнений как при целом, так и при полуцелом спине могут быть
положительными либо энергия, либо заряд, либо обе величины одновременно.
О
1
(26)
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Неприводимые представления группы ортогональных
матриц
В первой части книги приведены формулы для инфинитезимальных операторов
любого неприводимого представления трехмерной группы вращения, или, что
одно и то же, группы ортогональных матриц
3-го порядка. В этом дополнении мы приведем явные формулы, задающие
инфинитезимальные операторы неприводимых представлений группы
ортогональных матриц любого порядка.
Напомним, что матрица Ц^Ц называется ортогональной, если задаваемое ею
линейное преобразование
П w
(/ = 1, 2 п)
x'i= 2 gik*k к = 1
п
сохраняет форму 2 ХЬ т- е
г-1
й(0!=|,4
Очевидно, что ортогональные матрицы "-го порядка образуют группу, которую
мы будем обозначать Кп¦ В группе Кп можно выбрать "("-1)/2 различных
однопараметрических подгрупп точно так же, как мы это делали для группы
вращений и собственной группы Лоренца. Рассмотрим подгруппу ортогональных
матриц, преобразующих только переменные х{ и xk (i.=?k) и не меняющих
остальные переменные. Поскольку каждая такая матрица сохраняет сумму х^-
\-х^, то ей соответствует вращение в плоскости (х^хк). Сама матрица имеет
при этом вид
gik (О =
(0 (k)
1 0 . . 0 0 . .. 0 . . . .
0 1
0 0 . . 1 0 . .. 0 . . . .
. 0 COS t . .. sin t . . .
. 0 0 . .. 0 . . . .
. 0 - sin t . .. cos tO..
0 1 . .
1
(О
(к)
О)
