Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
при любых значениях а и р и, следовательно, заряд у соответствующих
уравнений не является положительно определенным.
Обратимся к случаю б). Так как мы ищем матрицу L0, не приводящуюся к
диагональному виду, то она должна иметь кратные собственные значения. Это
значит, что характеристическое уравнение матрицы |! cz\' ||
У
^ - ("2 + 4 ~ 2?a) X* + (| + рт)2 + 0 (21)
имеет кратные корни.
Здесь возможны три случая:
1) I; корни: Xi,2 = |/"4 -Ра==-Х3,4,
2) а- 4±2р; корни: Xi,2 - ^-± Р = - Х3>4, (22)
3) а= - 2р2; корни: Х1>2=0, Х3 =- X4=-i - 2р2
Случаи 1) и 2) при р Ф -i дают матрицу L0, приводимую к диагональному
виду, и, следовательно, заряд в этих случаях не является положительно
определенным.
В случае 3) матрица L0 к диагональному виду уже не приводится. При этом
для всех собственных векторов ф°-т ящика Цс^И
2 У
форма (ф°, ф0) - 0. Таким образом, в случае 3) заряд неотрицателен.
Однако при р ф 4 существуют ненулевые собственные значения X ящика ЦС^'Н,
т. е. возможны состояния (плоские волны) со
У
спином I = ~2> энергия и заряд которых равны нулю W = х(ф°, ф°) - =
50==Х4(ф°, ф°) = 0. Лишь при р= -i- таких состояний нет (все
собственные значения ящика Цс^'Ц. отвечающего спину l = при
У
р= i- равны нулю). При Р = у из формулы (22) 1) и 3) находим*
П. 5] §11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
351
что а--и мы приходим к уравнению Паули-Фирца (см. § 9). Заряд для этого
уравнения ^в состояниях с 1 = -^ имеет вид
Таким образом, из всех уравнений со схемой зацепления (18) лишь для
уравнения Паули-Фирца все плоские волны в системе покоя имеют
положительный заряд спин I - yj .
5. Теорема Паули. В предыдущем пункте мы видели, что в случае
конечномерных уравнений не существует частиц с целым спином и
положительно определенной плотностью заряда, а также нет частиц с
полуцелым спином, обладающих положительно определенной плотностью
энергии.
Этот факт является следствием более общей теоремы, принадлежащей Паули.
Прежде чем сформулировать эту теорему, сделаем несколько напоминаний.
В п. 8 § 8 мы рассматривали функции Ф(х), значения которых в каждой точке
х квадратично зависят от значений волновой функции ф(х) и ее частных
производных в этой же точке. При преобразовании Лоренца x'-gx и ф (х') =
Т if (х) величины Ф (х) также преобразуются по некоторому представлению
g-
ф (х') = т#Ф (х).
Мы показали в § 8, что представление g-*-zf, по которому преобразуются
величины Ф (х), содержится в сумме представлений вида
(Т, х т*а) X (Тд х Tlt),
где через Tsg и Тд обозначены представления, действующие в пространстве
симметрических тензоров ранга s и 1 соответственно *).
В случае, когда представление §¦->¦ Тд конечномерно, представления g-, по
которым преобразуются величины Ф, раскладываются в сумму неприводимых
тензорных представлений. Величины Ф(х) мы условились в связи с этим
называть тензорами, квадратично
*) Напомним, что представление g-*-T*g состоит из неприводимых компонент
т* tj, ..., если представление g-*-Tg состоит из компонент
tj Tfc, ... (неприводимые компоненты т и т* определяются соответственно
парами т (/, I) ит*~.(/0, -I).
352
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
зависящими от фх). Так, например, вектор тока s* и тензор энергии -
импульса Tj служат примерами тензоров, квадратично зависящих от ф(х).
Заметим, что неприводимые тензорные представления можно разделить на два
типа: четные и нечетные, в зависимости от того, принадлежат ли они
тензорному представлению четного или нечетного ранга *). Если
представление, по которому преобразуется величина Ф(х), раскладывается на
четные (нечетные) неприводимые компоненты, то величину Ф(х) будем
называть соответственно четным (нечетным) тензором. Вектор тока,
например, является нечетным, а тензор энергии - импульса четным тензором.
Сформулируем теперь теорему Паули.
I. Пусть волновая функция ф удовлетворяет конечномерному релятивистски-
инвариантному уравнению
2 Lк jj~ Ч- - 0, х Ф 0, (23)
и преобразуется по представлению g -> Т содержащему только целые веса I
(частицы с целым спином).
Пусть Ф(х) - нечетный тензор, квадратично зависящий от ф(х) и ее
производных (условимся писать Ф = Ф[ф(х)]).
В таком случае для каждого решения ф (х) уравнения (23) найдется другое
решение этого уравнения ф(х) такое, что
Ф[ф(х)]= - Ф[ф(х)],
т. е. тензор Ф(х) меняет знак при переходе от волновой функции ф(х) к
волновой функции ф(х).
Из этой теоремы следует, что никакая компонента нечетного тензора Ф не
может оставаться положительно определенной для всех решений уравнения
(23).
Так как вектор тока (s0, s2, s3) является нечетным тензором,
то теорема Паули означает, что в случае частиц с целым спином плотность
заряда s0 не может быть положительно определенной.
II. Пусть волновая функция ф(х) удовлетворяет конечномерному уравнению
(23) и преобразуется по представлению g ->¦ Т , содержащему полуцелые
веса (частицы с полуцелым спином). Пусть Ф (х) - какой-нибудь четный
тензор, квадратично зависящий от ф(х) и ее
