Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Я_/2_ 2 = г-з
м т. д.
Согласно лемме построенные векторы /г, /г_1( • • ¦ являются собственными
векторами матрицы Я3, отвечающими собственным значениям I, I-1, ... Так
как матрица Я3 имеет лишь конечное число различных собственных значений,
то для некоторого k последовательность векторов fb fi_v fi_2> • ¦ •
оборвется, т. е. для какого-то k мы получим Я_/й = 0.
Мы получили, таким образом, систему попарно ортогональных "ормированных
собственных векторов преобразования Я3:
= mfm- (13)
Кроме того, мы имеем:
Я_/да = а mfm-V (14)
Для того чтобы формула (14) имела место и для последнего из построенных
векторов (при m - k)> положим aft = 0.
Выясним теперь, как действует на векторы fm цреобразование Я+. Во-первых,
в силу леммы H+fm есть либо нуль, либо собственный вектор Я3, отвечающий
собственному значению т-\- !• Так как
30 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. К
I-наибольшее собственное значение Н3, то
HJt = 0.
Найдем Мы имеем:
я+/г_, = i я+я_/г = 1 [Я+, я_ ] /г+1 Я_Я+/г = 1 Яз/г = | /г,.
II III
т. е. вектор Я+/г_! пропорционален /г:
H+fi-i - Рг/г> Рг > 0.
Покажем, что H+fm пропорционален /от+1, т. е. H+fm-$m+ifm+v
Пусть это соотношение справедливо для векторов /), /г-1./m+i-
Докажем наше утверждение для вектора fm\
-1- -1- =* я3/т+1+Я_/т+2-
I ^--------------- ----t-v lit -f a n -OJ III *t* i I rt
amJr 1 am+1 "m-t-i
Воспользовавшись теперь равенствами (13) и (14), получим:
" , 2 (/та -t- 1) +
n+Jm- " Уя"+1*
aw+l
Положив
2 (m -1) -j- __ n ^
am +1 m+l>
мы можем написать:
H+fm ~ ?m+lfm+l- (16)
Так как Я+/г = 0, то эта формула имеет смысл и при т - 1, если, положить
Рг+1 = 0.
Для определения преобразований Я+ и Я_ нам надо в первую* очередь
вычислить коэффициенты am и [Зт. Из того, что Я+- Я_* следует:
(Я - /ш 1 ' /то)==(/т-1> Я_/От).
Пользуясь (14) и (16), получаем:
f?п) ^-mifrn-1> fm-i)'
и так как собственные векторы нормированы, то aOT = j3m. Замени" Р на а,
а от-j-l на т, запишем соотношение (15) в виде
а2 - а2 = 2т.
т m + i
Чтобы найти о?т, сложим такие соотношения от т - I до произвольного
значения т. Мы получим:
аЪ - ahi = 2lJr2V- 1) + 2(/ -2)+...+2m.
П. 3] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 31;
Пользуясь тем, что ^21 + 1 - 0 и, следовательно, а^+1 = 0, находим:
Полученная формула дает нам возможность найти число векторов /т в
построенной цепочке /г, ..., /*. Мы положили ак = 0, если fh - последний
из построенных векторов (H_fk - 0). Из формулы (17) мы получаем, что k -
- /. Так как числа т в процессе нашего построения уменьшались каждый раз
на единицу, то разность I - (-1) - 21 равна целому числу. Следовательно,
само I может быть или целым числом или половиной целого нечетного числа
(в дальнейшем мы для краткости будем называть такие числа полуцелыми).
Число построенных векторов равно, очевидно, в обоих случаях 21 -4- 1.
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на представление Тд, т.
е. оно могло быть как неприводимым, так и приводимым. Ограничимся теперь
неприводимыми представлениями. Это значит, что в пространстве R, в
котором действует представление,. не существует подпространства,
инвариантного относительно всех преобразований Тд. Тогда в R не
существует подпространства, инвариантного относительно матриц Аи А2, А3,
т. е. относительно Н+, Н_, Н3. Действительно, из формулы (6) вытекает,
что такое подпространство было бы инвариантно и относительно Тд. Покажем,
что в этом случае векторы /г, /г_х, . . ., /_г образуют базис в
пространстве R. Действительно, так как Н+, Н_ и Н3 переводят векторы fm
снова в векторы этой же системы, то порожденное векторами fm(m = - /,
...,/) подпространство инвариантно относительно Н+, Н_, Н3 и,
следовательно, в силу неприводимости представления совпадает со всем
пространством R.
Мы нашли, таким образом, что для любого неприводимого представления
преобразования Н+, Н_ и Н3 записываются в ортогональном базисе, состоящем
из нормированных собственных векторов Н3,_ формулами
здесь .=- /, -(-(-1, ..., t, I - целое или полуцелое число и
ат = V"(^ ~b т) (!¦ - ш-\- 1).
Сам базис /г, fl_x, .... /_г, состоящий из нормированных собственных
векторов преобразования Н3, в случае неприводимого представления мы будем
называть каноническим базисом этого представления.
Возвращаясь к преобразованиям Av А2 и Л3 получаем следующее утверждение:
всякое неприводимое представление группы вращений-определяется некоторым
целым или полуцелым числом I..
ат = (1 + т)(1 - т-\- !).
(17)
(18)
32
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Преобразования Аи Аг и А3, отвечающие при этом представлении ¦бесконечно
малым поворотам вокруг осей координат, задаются в каноническом базисе fm
(т = - /, -/+1....../) формулами
И if т - т =
- - ±Y(l+m+l)" - У (l+m)(i-m+\)fm_v
*^2/т - т ==:
= - yrV- m)fm+1 + ~2 V-OT+l)/m-l>
fm ~~ = imfт.
(19)
Число I называют весом соответствующего неприводимого представления.
Всякое неприводимое представление определяется своим весом однозначно.
