Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 109

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 132 >> Следующая

величины для случая уравнения Дирака.
II. Величины, содержащие частные производные волновой функции ф. Снова
начнем с примеров.
а) ^ = (4^-, ф). Как нетрудно проверить, величина i? преобра-
\ OX j ,
зуется по формуле
t'r = 2 g* Jtj, (30)
i
где матрица ||gi\#|| = (||g-ft,fc|Tp)- (матрица -матрица пре-
образования Лоренца). В силу равенства
(gTp)~l = sgs~K
где s- пространственное отражение (см. п. 1 § 1), представление (30)
эквивалентно тождественному представлению g ->g группы Лоренца. Величину
^ называют контравариантным вектором в отличие от обычного вектора tk
(называемого ковариантным).
П. 5] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 299
б) Величина преобразуется по формуле
= OD
где на верхний индекс действует матрица |!^'./[|, а на
нижний -
матрица ^gk,k]]• Представление, задаваемое формулой (31), эквива-
лентно тензорному представлению ранга 2, а величина t{ называется
тензором с одним верхним и одним нижним индексами.
Общий случай:
(м*• • • чж;*.?-*,.- ")• (32)
Эта величина преобразуется по формуле
t'*i " i'ч = 2 g*' j' • • • gSai*g. * , ...g, t3>- *• (320
к ...к к к к к к к к ...к
11 3 3 '> '• 1 "
и называется тензором с s верхними и п нижними индексами. Представление
(32') эквивалентно тензорному представлению ранга s-j-л (или, точнее,
представлению, возникающему в некотором инвариантном подпространстве
пространства тензоров ранга k-\-n).
jl • ¦'j
Заметим, что тензор (32) симметричен по верхним ин-
дексам.
Аналогично тому, как это делалось выше, можно строить соответствующие
псевдовеличины с помощью оператора Т.
5. Замечание о величинах, составленных квадратично из волновой функции
ф. В предыдущем пункте мы построили различные величины, квадратично
зависящие от волновой функции ф и ее частных производных и преобразующие,
по тому или иному представлению, группы Лоренца (скаляр, вектор, тензор и
т. д.). Здесь мы выясним, по каким, вообще, представлениям могут
преобразовываться
величины, зависящие квадратично от ф, ^^- и т. д.
OXft OX^OXfo
I. Найдем сначала, по какому представлению может преобразовываться
величина Ф, зависящая квадратично только от самой функции.
Пусть значения величины Ф принадлежат некоторому линейному пространству
R. Выберем в R какой-нибудь базис т)а и координаты величины Ф в этом
базисе обозначим {?"}. Так как Ф зависит квадратично от значений волновой
функции ф, то это означает, что все ta имеют вид
*. = (ф. (33)
где (ф, ф)"-некоторая эрмитова квадратичная форма, для каждой координаты
tв - своя.
300 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Ч. II
Значения волновой функции ф преобразуются, как всегда, по представлению
g-^-Tg, действующему в пространстве R и состоящему из компонент т2 тА. В
этом случае значения комплексносопряженной волновой функции ф
преобразуются по представлению g-у Т*, состоящему из неприводимых
компонент т*, т*, .. ., т* и действующему также в пространстве R.
(Напомним, что если представление т определяется парой (10, /г), то
представление т* определяется парой (/", -Г^).
Из формулы (33) видно, что пространство R, которому принадлежат значения
величины Ф, содержится в произведении пространства R на самое себя: R с=
R X R, а представление хд, по которому преобразуется величина Ф,
содержится в произведении представлений *) Тд X Г.
Таким образом, величина, квадратично зависящая от значений волновой
функции ф, может преобразовываться только по представлению, содержащемуся
в произведении представлений Тд X Т*.
II. Рассмотрим теперь случай величины Ф, квадратично зависящей как от
волновой функции ф, так и от ее первых частных про-<Эф
ИЗВОДНЫХ -Т^.
dxi
Заметим вначале, что если волновая функция ф преобразуется по
представлению g^-Tg, т. е. при x' - gx
Ф (х') = Тд6 (х),
то ее частные производные первого порядка преобразуются по формуле
4 (X') VI т djtjx) dXj _ Y т "и Л
dx'h ^ 8 дхг dx'k в dXi'
где матрица ||§-и|| = (||§-"||)-1.
Из этой формулы видно, что величина j j преобразуется по
произведению представлений = Тд X Т\, где через Тд обозначено
представление g-ь (g*)*1, эквивалентное векторному представлению g->¦ g
(это представление определяется парой (/0, /^ = (0, 2) или, в спинорных
обозначениях, парой (k, n) = (l, 1)).
Рассмотрим теперь величину Фх, являющуюся билинейной комбинацией ф и
(составляющие ta величины Ф имеют вид
OX j
ta=^xLt ф2^ ( где (фх, ф2)а - эрмитова билинейная форма^.
*) Мы говорим, что представление g -*-Тд содержится в представлении g ->
тд, если последнее в каком-нибудь из своих инвариантных подпространств
порождает представление, эквивалентное представлению Тд.
п. 5] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 301
Точно так же как и в предыдущем случае, мы видим, что величина <3?! может
преобразовываться только по представлениям, содержащимся в произведении
Тд X Тд = Тд X Тд X Тд.
Величина Ф2, зависящая от билинейных комбинаций только одних частных
производных -jy-, преобразуется, очевидно, по представлению
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed