Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 103

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 132 >> Следующая

= т У"(1 + Эт)(1-1)сГ'\a] - Ai ],
(19)
bim\ I, m +1 =I= i$lm; I, m4 1 ==
= jl^(l - /ra)(l~hmH- 1)ci [tIг - И)],
^Zw; Z-f 1, m-1 ^ idim; Z-f 1, m - 1 ==
- ~2 'У^ m "1" ^ ^-m "b 2) \Ci+\ci^\-Ci+\ci ],
blm; Z-f 1, m + l ==z idim. 2 + 1, m + 1 ===
- - ~2 ^(H^+l) (l~f 2) [Cf+ic(+i-Ci+\ci ]•
Компоненты x и x' в этих формулах предполагаются зацепляющимися. Числа ci
определяются по формулам (15) и (16), а числа С\ и
282
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСГСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
А]-по формулам (16) § 2. Формулы (13) - (19) содержат полное решение
задачи о разыскании всех уравнений, инвариантных относительно собственных
преобразований Лоренца. Мы видим, что такие уравнения полностью
определяются набором чисел си с'ч, отвечающих различным парам т и V
зацепляющихся компонент представления g-^-Tg.
4. Релятивистски-инвариантные уравнения с х = 0. Все определения и
результаты предыдущих пунктов относились к реляти-вистски-инвариантным
уравнениям (2) с у. Ф 0. Очевидно, что они полностью применимы и к случаю
-/. = 0. Оказывается, однако, что в последнем случае можно несколько
расширить сами условия, при которых уравнение является релятивистски-
инвариантным.
Рассмотрим уравнение
(величина ф преобразуется, как всегда, по некоторому представлению g-+Tg
собственной или полной группы Лоренца).
Выясним, в каких случаях уравнение (23) следует называть релл-тивистски-
инвариантным. Совершим, как всегда, замену
Допустим, что найдется такое невырожденное преобразование Vg, что
Если такое преобразование Vд найдется, то это будет означать, что
уравнения (20) и (22) .эквивалентны, т. е. после замены (21) уравнение
(20), по существу, не изменилось.
Таким образом, уравнение (20) является релятивистски-инза-риантным, если
при однозргменной замене x' = gx и ф'=7'гф измененное уравнение с
точностью до невырожденного преобразования Vg совпадает с исходным.
(20)
x' = gx, ф' (х') = 7^ф (х).
(21)
Отсюда
функция ф' (х') удовлетворяет, следовательно, уравнению
(22)
k, i
^VgLiTg'gbi
(для всех ф' (jc')),
т. е.
2vy.i77VM = ?*.
(23)
i
п. 4] § 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
283
Заметим, что в случае х Ф О преобразование Vд, приводящее уравнение к
исходному виду, обязано совпадать с оператором Тд: V"=Ta. В случае же у.
= 0, преобразование Va может быть отличным от Тд.
Для матриц L0, Lv L2> L3 в релятивистски-инварчантном уравнении вида (20)
получаем соотношение (23) 2^g^%Tglgki - Lk, где Тд-ма-
г
трица представления, Vg - матрица невырожденного преобразования.
Соответствие g->Vg, как нетрудно проверить, задает представление
собственной (или полной) группы Лоренца (действующее в том же
пространстве, что и представление g-> Т ).
Итак, для того чтобы уравнение (20) было релятивистски-инзариантным,
нужно, чтобы в пространстве величин ф, кроме представления g-+Tg,
действовало представление g-+Vg такое, что выполняется равенство (23)
HgjciVgLiTg^L,. i у
Это и есть условие релятивистской инвариантности уравнения (20).
Определим общий вид матриц LQ, Llt L2, L3 в релятивистски-инвариантном
уравнении (20).
Вектор ф из R под действием матрицы Lk перейдет в некоторый вектор
\ = Lh ф. (24)
Пусть теперь {с]т}-канонический базис представления g-^Vg {Й'т'} -
канонический базис представления g^>-Tg. Условимся вектор \ относить к
базису {sjm}, а вектор ф - к базису {?yTO'}. В таком случае равенство
(24) можно записать:
т y п' {V) х'
Xim - Clm; I'm'УГmr"
где Xim-координаты % в базисе {з;те}, а у]'т координаты ф
в базисе {у те'}. Числа сои/г(tm)' и служат элементами матрицы Lk. При таком
определении этих чисел будем говорить, что матрица Lk записана в двух
базисах {ajm} и {krm'}-
С помощью выкладок, аналогичных тем, что проделаны в п. 3, мы можем легко
убедиться, что числа cim^im- имеют тот же вид, что и для матриц Lk в
уравнении (2) с v. ф 0, т. е. задаются формулами (13) - (19), в которых
теперь величины со значком т относятся к представлению g->Vg, а величины
со значком Ф- к представлению g^-Tg.
В частности, для матрицы L0
284
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
где числа сТ ф 0 лишь для зацепляющихся компонент т и т' двух
представлений g->V (т) и g->¦ Т (t') и получаются по формулам (15) и
(16).
Ради простоты мы рассматривали пока случай квадратных матриц L0, Lv L2,
L3, т. e. предполагали, что число уравнений в системе (20) совпадает с
числом компонент волновой функции ф. При этом представление g-+Vg, по
которому преобразуется система (20), мы могли считать действующим в том
же пространстве R, в котором лежат значения волновой функции ф, и где,
следовательно, действует представление g~> Тд.
Однако встречаются системы уравнений вида (20), в которых число уравнений
не совпадает с числом компонент ф, т. е. матрицы L0, Lv L2, Ls уже не
квадратные, а произвольные прямоугольные матрицы. В таком случае
представление g->Vg, преобразующее систему, надо считать уже действующим
в некотором пространстве R, отличном от пространства R, где действует
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed