Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
восстановятся.
Для матрицы Ц имеем следующие соотношения:
[T.Q, Д12] = [7-qi И13] = [7-0, Л2з1 =
[В3, [В,, Lg]] - T.Q.
Остальные соотношения следуют из написанных.
Если ввести операторы
77+ - i.423 Al3, F + = 1ВХ В2,
H_ = iA23-\-Al3, F_=iBx-\-B2,
773 = iAi2, F 3 = 1В3,
то получим: ¦
[L0, Н+\ - [7-0, Н_] = {Т-о, Н3\ - 0, (7)
[[Т73. 7,0], Т^з] = Ад. (8)
Итак, задача об определении четверки матриц Lx, L2, L3, L0 све лась к
отысканию матрицы 7-0, удовлетворяющей соотношениям
(7) - (8).
Если уравнение (2) инвариантно, относительно полной группы Лоренца, т. е.
не меняется при отражении у трехмерного пространства
Х\ === X\t Х2 === *^3 == "" ЭСзt Xq ¦-~ Xqt
П. 3] § 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 279
то матрица ?0 коммутирует с оператором 5 (S=Ts). Действительно, из
соотношения (3) имеем:
SLqS'^Lq или [5, ?0] - 0. (9)
Таким образом, мы получаем окончательно, что матрицы Lv L2, L3 в
релятивистски-инвариантном уравнении (2) выражаются через матрицу L0 по
формулам (6'):
Ц = - [В^ ], /=1,2,3; (60
матрица L0 определяется из условий (7) - (8):
[Ц, Н+\ - [^-о> 7/_] = [Z-q, Н3] = 0, [[М3, А)1> ^з] = Аи (У
В случае, когда уравнение (2) инвариантно относительно полной группы
Лоренца, к условиям (7) - (8) добавляется условие (9).
3. Определение матриц L0, Lx, /2, ?3. Найдем матрицу L0 в
урав-
нении, инвариантном относительно собственной группы Лоренца, т. е. в
уравнении, не меняющемся при собственных преобразованиях Лоренца. Такая
матрица L0 удовлетворяет, как было показано в предыдущем пункте, условиям
(7) - (8).
Пусть пространство R, в котором действует представление g-yTg,
разлагается в прямую сумму подпространств Rz, в каждом из которых
действует неприводимое представление собственной группы Лоренца т,
определяемой парой
т~(/0, h).
В каждом подпространстве Rх выберем канонический базис
т. е. базис из собственных векторов оператора Н3. Векторы
{%т}
образуют, очевидно, базис во всем пространстве R.
Пусть ЦспяНт'Ц - матрица оператора L0, записанная в этом базисе, т. е.
== 2 ClmVm'^Vm'' О(r))
Мы найдем общий вид чисел c]'mvm<.
Из соотношений (7), означающих, что матрица L0 коммутирует с операторами
представления группы вращений, получаем согласно
(32) § 2:
Clml'm'z= Cl ОЦ'Ьттг. (М)
Найдем теперь числа с}'. Воспользуемся соотношением
[[М3, ?0Ь f7s] = A>*
Применяя операторы из обеих частей этого равенства к вектору получаем:
[[М3, Ц\, ^з] %lm ==
280
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
(12)
Развертывая это равенство, мы с помощью соотношений (10) и (11) и
выражения для F3 (13) § 2 придем к следующим системам уравнений:
Ci Cj+ici+i - 2Cl Ci+icf QCU ici-i = 4 CiCi+\Ci+i - 2CiQ+1ci -(- Ci
Ci+icjLi = 0,
Ci \Ai-i 44 - 2/1;] ci - Ci [2Ai_x - 4-i - /1)] cfli,
Ci + - 2A}\ci~ =C] \2Ai_i - .4j_i- AjJclLi,
2Ci'+lCi+1cTU - {(Cf+02 + (Ci+lf + (Ci'f + (cl)2 4
Ч- (4 - 4) } ci -f- 2Ci Cici-i = 0,
^ (7 -(- 1)' Qj-iC; + iC;Vi-{(7 -j- 1) (Ci + i) -j- (7 -1~ 1) (CM) -j-
4-12 (Ci)2 412 (cl)2} cf 4 2 l2CiClcti = 4 Cl .
Здесь А} и Ci обозначают величины, определенные формулами (16) § 2, в
неприводимом представлении т (/0, 1Х). Наша задача сводится к
исследованию и решению написанной системы линейных уравнений. Разрешая
какие-либо три из уравнений (12) относительно сГ-ъ с}' , +1
и подставляя полученные значения в остальные уравнения, мы убе-
димся, что с\ может быть отлично от нуля только тогда, когда компоненты т
(10, 1Х) и z (4 l[) такие, что
1) либо
(/o40=4A)=t 1, к), (13)
2) либо
(l'Q, l[) = (l0, /idr 1). (14)
Если пары (10, 1Х) и (/о, к) двух компонент т и z связаны каким-нибудь из
этих двух соотношений, то компоненты z и г' мы будем называть
зацепляющимися.
При этом числа с]х имеют следующий вид:
1) при (4/!) = (/0+1, 1Х)
с'г -сл V(f- + k + *)(*-
cjz = c 10-\-1)(F-10);
2) при (4 l[) = (lQ, /1+1)
c% -c'z 1Л/444- 1)(7 - k)> ст г (l 4' k 4' 1) (1 - k)>
S x Cl :
(15)
(16)
П. 3] § 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 281
где с'л' и -произвольные комплексные числа. Подчеркнем еще раз, что числа
ст"' и ст'т отличны от нуля только для зацепляющихся компонент х и х'. В
остальных случаях стт' = схЧ = 0.
Таким образом, окончательно, элементы матрацы L0 имеют вид
clm; I'm' == О Ъц'Ъттг, (17)
где числа с? определяются по формулам (14), (15) и отличны от нуля только
в том случае, когда компоненты х и х' зацепляются. Для матриц Lv L2, L3
получаем, пользуясь формулами (6'), следующие выражения.
a) Для L3: Обозначим матричные элементы L3 через аТт-.г-т''-7-з - I aim\
I'm' I • Тогда
alm; l-\, m = iV I2 1 Сj Ср ], j
aim\ im = - Imc'i' [a]- Ai ], J- (18)
aim; г-н, m = - 1 У"(1+ I)2 - [Cz+iQ+i - Ci+icl' ]. j
b) Для Lj и L2. Обозначим элементы этих матриц соответственно
через bim-t i'm' и d\m; ijmнта' |> T,2 = || Vm' |]• Имеют место
равенства:
Ь\т\ Z-l, m - 1 == id%m; I-1, яг-l ~
= + ^V(l + m){l + m-\) f Cid-i - CUT'l
bim ;l - 1; m + 1 == t&lm\ I-1, w + 1 ==
= _ ^y(7_m)(Z_m_i) [с^! - cUt],
blm; I, m-l = idlm; Z, яг-l =
