Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 101

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 132 >> Следующая

уравнения уже неоднородны.
**) Напомним, что систему координат (х0, х±, х2, хя) называют
ортогональной, если квадратичная форма s2(x2) в этой системе записывается
в виде
- Xq Xj - х2 х3
В физике такие системы отсчета называют инерциальными.
п. 1] § 7. ОГЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 275
Лоренца:
xi - ^.SikXk,
O')
рДе \\gik\\-матрица преобразования Лоренца.
Таким образом, инвариантность уравнения (1) относительно преобразований
Лоренца означает инвариантность этого уравнения относительно выбора
системы отсчета. Очевидно, что последнее свойство- не зависеть от Еыбора
системы отсчета - является общим для всех дифференциальных уравнений или
систем дифференциальных уравнений, описывающих реальные частицы.
Мы будем рассматривать системы уравнений первого порядка. *) Их можно
записать так:
дЬ
д <1
дх0 ^'1 dxt дх
д<!>
+ +*Ч - 0
(2)
*) Можно г.оказать, что всякое уравнение более высокого порядка может
быть сведено к системе уравнений первого порядка. Для примера рассмотрим
уравнение (1)
? Ф + Д-'ф = 0.
Положим
'L'J ¦ = !-
1 * дх< •
Уравнение (1) перейдет в систему
Sdift _ дфо дх1
= 1, 2, з
дх,
о
- лгф = О,
дф
дх,:
- *Фг = о.
Эту систему можно записать так: пусть Ф =
Тогда
где
о
Фо
Ф1
ф2
Фз
дФ дФ La -f Lx ~ + Ц дх0 ' 1 dxt 1 2
дх" ^ " дх"
Н Ф = 0,
и =
и-
0 1 0 0 0 0 0 - 1 0 0
- 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ^1 = - i 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0!
0 0 0 2 0 0 0 0 0 i
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ц = 0 0 0 0 0
- / 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0
276
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(х- вещественная константа), волновая функция ф (х0 xl, хг, х3) принимает
значения из некоторого линейного пространства R (другими словами, имеет
конечное или бесконечное число компонент), a L0, Lv L2, L3-матрицы,
действующие в этом пространстве.
Сейчас мы точно определим, что называется релятивистски-ин-вариантным
уравнением вида (2).
Всякое преобразование Лоренца g над координатами х0, хх, х2, х3 (переход
от одной системы отсчета к другой) должно сопровождаться, вообще говоря,
некоторым преобразованием Тд над величинами 6
Соответствие g-> Тд задает некоторое представление группы Лоренца в
пространстве R.
Уравнение вида (2) называется релятивистски-инвариантным, если при
одновременном преобразовании координат по формулам (1) и функции ф по
формулам (2) вид уравнения не меняется.
Подчеркнем еще раз, что для полного описания частицы, помимо
релятивистски-инвариантного уравнения вида (2), нужно задать еще и закон
преобразования величин <\) при преобразовании Лоренца, т. е. задать
представление g-^-Tg в пространстве R.
2. Условия релятивистской инвариантности уравнения для случая, когда х
Ф 0. Выведем условия, которым должны удовлетворять матрицы L0, Lv L2, L3
в релятизистски-инвариантном уравнении с х=^=0. Подвергнем х(х0, xv х2,
х3) некоторому преобразованию Лоренца g: x' - gx.
При этом ф преобразуется с помощью оператора Тд
<Х) = (х) (х' = gx).
(20
У (х')=Тд<Ь{х).
Посмотрим, как преобразуется уравнение (2). Имеем:
Подставляя эти выражения в (2), получим:
г, п-
Умножив слева на оператор Тд, получим:
^ТдЦТ-1§ы^г + Щ'^.
k, i к
п. 2] § 7. общие релятивистски-инвариантные уравнения 277
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2), видим, что для
инвариантности уравнения (2) нужно положить
2^7Л:г==^ (*=!• 2. 3, 0).
(3)
Это и есть условия, которым должны удовлетворять матрицы Lt.
Достаточно, очевидно, потребовать выполнения равенств (3) для бесконечно
малых преобразований Лоренца.
Пусть, например, lgki\\-матрица поворота g12(?) в плоскости (хи х2),
cos у sin у 0 01 - sin <f cos <р 0 0 0 0 10 0 0 0 1
S12
(?) =
или, при малых ср,
ёхг (г) = ?' + '?
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0!
о (ср).
Отсюда для элементов матрицы при малых ср получаем вы-
ражение
[g'l2 ((r))]fci = Чг - =Р (3А2§г1 - 8Й18Й) + О (ср)
(5йг=1 при k = l; Ьы - 0 при k=fci).
Оператор ТГа(у>) при малых ср запишется, очевидно, следующим образом:
Г*. (<?)=? + ?Л12 + о (ср).
Подставляя [?Тг (ср)]м и в выражение (3), имеем:
2 {(? Ч"" 9^12) Li (Е - 9Л12) Фи - ? [8fc2°ii - 8ftl8i2]) -f- о (ср)) =
Lk.
i
Собирая члены первого порядка по ср, получим:
2 {(^123i bki (ijb*2йг1 LjtijciOj2)} - 0
i
или
[Л12, Z-fc] -- iiO*2"f"^-2^*1== 0 (& = 1, 2, 3, 0).
k= 1, 2, 3, 0. (6)
278 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. и
Отсюда получаем следующие соотношения:
[А12, Lj] =-L2, [И12, 7,2]=Т,1, I И12. Ц\=\Аа. L01 = 0. J
Аналогично для А13 и Л23
И13. ^*1---^-1°Д:3 + ^3^1 - 0' | .д
[Д>з> ^ft] - + ^-3^2 - 0- J
Для Ви В2, В3 получаем так же
[В1; Lk\ -(--)-L0oA;1 = 0,
*[^2> Lk\ -)- 7-2^0 ~Ь А)^Й2 - 0>
I-83, Lk\ -)- Lzbk0 -)- L0bks - 0,
Таким образом, задача отыскания всех релятивистски-инзарлант-ных
уравнений сводится к отысканию матриц Lv L2, L3, L3, удовлетворяющих
соотношениям (4) - (6).
Из соотношений (6) видно, что
7*=-[В*, 7.0] (*=1,2,3), (60
т. е. достаточно найти лишь матрицу 7,0, как остальные однозлачно
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed