Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве тензоров второго ранга; в § 4 этот факт мы приняли без
доказательства.
2. Коэффициенты Клебша - Гордона*). В этом пункте мы на дем, как в
ыражаются векторы канонических базисов неприводи-мых компонент
произведения двух представлений Tf'"^ и 7^'"^ через произведение
канонических базисов {Й*1} и {} в пространствах Rfh,nl и Ru3, а, где
действуют сами представления ц
9 * "
ПуСТЬ {$т) - канонический базис для компоненты Tf'n\ Имеем:
*кгп' jrJirti' iw41 /о\
Чт -Zj. 1^; \^r
Мы выразим коэффициенты k,n,i,m, ?через коэффициенты
Клебша - Гордона для группы вращений (см. ч. I, § 10).
*) По аналогии со случаем группы вращений элементы матрицы, переводящей
один базис в другой, мы называем коэффициентами Клебша - Гор-дона.
п. 2] § 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ '271
Мы видели выше, что
0) т"(0, Hj)
1 9 - 1 9 19
Пусть (rlki , ) и / тс", "1-канбнические базисы представлений t + mi J \
"2 'т\ )
74*1, °) и -рд'П1\ g пространстве /?lt где действует представление Tfv Ч
векторы /%, ,, г,,, образуют базис. Очевидно, что
{ ~2 ' т1 J'mi)
2 .Tift, "• (3)
m'+(tm)i=ml 2 • mV 2 ' ml 2 ' ral 2 ' ml
Наоборот (см. § 10 ч. I),
^ X .= V Ч+т'УГ1п n (4>
Г "
Wj+mj =mj
Аналогично для
аИ2) __ ут(^2" 0) ут(0, П3)
имеем:
Tiz- т = "V +?"2' (tm)2 Ё?1*3 С5>
ft, ", П, П, Ч"Я11" V /
2 ,mTitcIl [2' 2 1 т>+2-гз'
(m'+OT2=m2)
где
i7!*., -I и i7!", Л - канонические базисы представлений I Т' m2 J \ J '
т2)
7Ч&*" 0) 73(0, Ла)
9 и 19
Рассмотрим представление
'р(к1
19
Пусть | - канонический базис компоненты ' 0) этого
произ-
ю, 1
S в1'Г'.ь (6)
I т- Ч
ведения ((^- &21 + & kl-\~k2).
Очевидно, что
к
I,2 ................
Т'2-' , ^ ' 7 ' ТО1' Y ' ТО2 "2 ' "l ~5 ' "*2
р* =т1+т2
Подобным образом для канонического базиса \ компоненты
Тд' пП> из произведения Tg' Wl) X Тд' "з) имеем:
272 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч.
II
Произведение Tf ' 0) X Тд' п>) образует неприводимое представление Tf,n^
с каноническим базисом {^n }
Чт - 7j , "' ,,'k' " I8-'
.. T • H- ; -5- > I1 T . H-' V - H-"
111= a'+|i/' ^
или (см. (6) и (7))
к/
tк'п' Ч ^ гЛш р 2 ^ ,
"а" - 2и • 2! " к> (tm)'- ка ^
2 ' ^ 1 2 (tm)
"lj, 7"J, 1"2
п' "
¦у, 11" _
ХВ", " Па " 0*1 ' 'ЧЛа I Mb ' т1яа "•
у "Is 7* "*2 2 ¦-И1 7- Щ2 2 • W1 7- "2
Или, наконец (см. (4) и (5)),
к' , п'
tk'n1
X , ft' r *S ' " "a " X
, 2 ' ^ ' "2 ' * 2 ' "V 2 '
Ш2 2 * "V ~2 * W,*>
m2* "
Jji 772j
Wj, i"2"
Имеем:
n, f Щ . 1
0+тл m"* Г+И12; ь ь "
w О * 1 Д ^ -2
ЛЧ, . 1", . ,11, , -^a , "a Ha , Ha ,
",111, 4a*"a-
2' ,_7' 2 ' m'+2~ l ~2 ' 2 '7' '"a+7_/a
m-i == ml - /"j, т.2 = щ - т2,
II. r n II
p. =mi-\-m2, p -m - m.\ - те2
(суммирование идет по всем дважды встречающимся индексам). Отсюда
к'
н ___ ЧД pIiH р 2 1 2
Чя - 71 Е>к' , г п' г , tiki ' ка > X
^ Т 1 "l+n*2: 7 ' m-(tm)l-ra2 7 • "V 7 ' m2
X °я, - На > ?>ft, , "1 п, п, , X
ТГ. "j-Wj! 2'т2-"'2 ~2 ' '~"2 ' 7'
и2 г
w D
/\&к% 1 щ щ щ
2 ' а-2 : 2" ' "Ь+у-'"
Суммирование идет по индексам
*1 ^ ^ *1 *2 ^ / *2 I *1 Л1 I ^ ^ *1 + ЯГ
2 ^ 1 *2" • 2 ^ U * " 2 ^ 1 ^ 2
*
¦ *8'^"2--</2<Ь"1 И -/х< rn^h (т = т1-фт2).
§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОД1ШЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
273
Сравнивая с (2), получаем:
jrlr'n' lm V"! р>1т ..
?,пг, /.'а Щ ---- Z-А t Г П' t ,
-тг " " т-тл-тп
ту т2
2 1 1 2' 2 1 2
А*' г г пг г ' ??2 г
- , т +т0 , т-т -т т
XBjf, - ft, - в? \ "2 а 1 n, I"i X
¦2-т1:Т'да2 Т ' т1-т1; ~2 ' т2~т2 Т'г'-1;2'т'Ч~г'
2-Чм', т
хя*. \,2\2 Т . ?.-Т . Т. (tm). + Т-1,
ГЛАВА 2
РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 7. Общие релятивистски-
инвариантные уравнения
1. Определение релятивистски-инвариантных уравнений. В квантовой
теории полей состояние частицы описывается некоторой функцией ф(лг0, хи
х2, х3). Величина ф(х0, хи х2, х3) может состоять как из одной, так и из
нескольких компонент (а также, быть может, бесконечного числа их).
Функция ф(лг0, хи х2, х3) должна удовлетворять некоторому однородному
линейному дифференциальному уравнению *). Вид этого уравнения
определяется физическими свойствами частицы.
Рассмотрим пример наиболее простого уравнения - так называемого уравнения
Клебша - Гордона:
д"'1' д-Ь д"<1> . j. г. /1ч
-I-------j j-----------к-(- = 0, (1)
дл-g dxf дх3 дх3
где функция ф (лг0, Xj, х2, х3) состоит из одной компоненты (скалярная
функция).
Нетрудно видеть, что если переменные (х0, хъ хг, х3) - х подвергнуть
преобразованию Лоренца g: x'=gx, то вид уравнения (1) не изменится, а
функция <|/ (х') = ф(лг) по-прежнему останется решением уравнения (1). В
связи с этим про уравнение (1) говорят, что оно инвариантно относительно
преобразований Лоренца, или, короче, релятивистски-инвариантно.
Это обстоятельство выражает тот факт, что свойства частицы, описываемой
уравнением (1) (в частности, само это уравнение), не должны зависеть от
выбора системы отсчета (д:0, xv х2, х3). Две же различные ортогональные
**) системы отсчета связаны преобразованием
*) Мы рассматриваем случай свободного поля. Для взаимодействующих полей
